La gavilla $ \mathfrak {S}$ de gérmenes de funciones analíticas sobre $D$ es un grupo topológico (Ahlfors)

Question

En el complejo texto de análisis de Ahlfors, página 286, da la siguiente definición:

Definición 1. Una gavilla sobre $D$ es un espacio topológico $ \mathfrak S$ y una cartografía $ \pi : \mathfrak S \to D$ con las siguientes propiedades: i) La cartografía $ \pi $ es un homeomorfismo local; esto significa que cada $s \in \mathfrak S$ tiene un vecindario abierto $ \Delta $ de tal manera que $ \pi ( \Delta )$ está abierto y la restricción de $ \pi $ a $ \Delta $ es un homeomorfismo. ii) Para cada $ \zeta \in D$ el tallo $ \pi ^{-1}( \zeta )= \mathfrak S_ \zeta $ tiene la estructura de un grupo abeliano. iii) Las operaciones del grupo son continuas en la topología de $ \mathfrak S$ .

En la página siguiente (287) intenta probar (iii) demostrando que la sustracción es continua. Tengo problemas con su prueba. Primero introduce los símbolos $ \Delta_0 , \Delta_0 ', \Delta $ sin definirlos con precisión. También utiliza la igualdad $ \pi (s-s')= \pi (s)- \pi (s')$ que creo que es falso.

¿Podría alguien ayudarme a revisar esta prueba? Gracias.

Answer 1

El $ \pi (s-s') = \pi (s) - \pi (s')$ es una tontería, por supuesto. Sin embargo, es casi seguro que es un error de imprenta trivial y estaba destinado a leer $ \pi (s-s') = \pi (s) = \pi (s')$ . Eso es correcto y tiene sentido.

En el último párrafo de la página 286, escribe

Con $s_0$ y $(f, \Omega )$ como en el caso anterior, que $ \Delta $ ser el conjunto de todos los gérmenes $ \mathbf {f}_ \zeta $ determinado por $(f, \Omega )$ .

En vista de ello, y ya que es la interpretación lo que tiene sentido, como los dos gérmenes $s_0$ y $s_0'$ fueron determinadas por $(f, \Omega )$ y $(g, \Omega )$ en $ \zeta_0 $ en forma repetitiva,

• $ \Delta_0 $ es el conjunto de gérmenes determinados por $(f, \Omega )$ , $ \Delta_0 = \{ \mathbf {f}_ \zeta : \zeta \in \Omega\ }$ ,
• $ \Delta_0 '$ es el conjunto de gérmenes determinados por $(g, \Omega )$ , $ \Delta_0 ' = \{ \mathbf {g}_ \zeta : \zeta \in \Omega\ }$ y
• $ \Delta $ es el conjunto de gérmenes determinados por $(f-g, \Omega )$ , $ \Delta = \{ \mathbf {(f-g)}_ \zeta : \zeta \in \Omega\ }$ .

La prueba de continuidad entonces simplemente muestra que los mapas de sustracción del tallo

$$\{ (s,t) \in \Delta_0 \times \Delta_0 ' : \pi (s) = \pi (t)\}$$

en $ \Delta $ y termina con la observación de que $ \Delta_0 $ y $ \Delta_0 '$ puede reducirse para que la imagen esté contenida en cualquier vecindario prescrito de $s_0-s_0'$ . Es decir, por definición de un germen, cualquier representante del germen $s_0 - s_0'$ coincide con $f-g$ en algún vecindario $W$ de $ \zeta_0 $ . Aquí, ya que estamos tratando con gérmenes de funciones analíticas, tenemos el teorema de la identidad que da algo más fuerte, dos representantes cualesquiera de un germen coinciden en todo el componente de la intersección de sus dominios que contienen $ \zeta_0 $ .