Función patológica necesaria

Question

Diga una función diferenciable que tenga una derivada positiva en $0$ , pero es no aumentando en cualquier vecindad abierta de $0$ .

Creo que la función requerida necesita tener una función derivada que sea discontinua en $0$ (es decir, la función requerida tiene que ser no continuamente diferenciable en $0$ ). Se agradecerá cualquier sugerencia.

Answer 1

Pista: necesitas algo que se mueva cada vez más rápido a medida que se acerca a cero, de modo que tenga una parte decreciente en cada vecindad de cero. ¿Se te ocurre algún ejemplo común?

Answer 2

Esto es Ejemplo 3.5 en Gelbaum y Olmsteads' Contraejemplos en el análisis :

La función $f$ definido por $$f(x)=\cases{x+2x^2\sin(1/x),& $ x \ne0$\cr 0, &$ x=0 $}$$ es diferenciable, $f'(0)=1$ pero $f'$ toma valores positivos y negativos en cada vecindad de $0$ .