Condicionamiento múltiple de las probabilidades de los eventos

Question

Estoy tratando de entender qué hay de malo en la siguiente lógica relacionada con el "condicionamiento múltiple". ¿Por qué la probabilidad de [(A dado B) dado C] no es la misma que la probabilidad de [A dado (B y C)]? Sé que no es cierto, pero sólo porque los números no coinciden. Me resulta difícil analizar qué es lo que falla en la lógica.

Answer 1

Documento de Peter Milne "Bruno de Finetti y la lógica de los eventos condicionales" es un relato de los intentos de basar la teoría de la probabilidad en eventos condicionales con especial atención al enfoque subjetivo de De Finetti sobre el "comportamiento coherente de las apuestas" utilizando un lógica de tres valores . Este último enfoque da lugar a una _álgebra de eventos condicionales_ con la propiedad de que tanto $$(A\mid B)\mid C \ \equiv \ A\mid (B \And C)$$ y $$A\mid(B\mid C) \equiv A\mid(B \And C)$$ donde $A, B, C$ son proposiciones ordinarias, lo que implica que las probabilidades respectivas deben ser iguales. (Esto es contrario a su expectativa de que deben diferir. Véase la página 218 del artículo citado, donde lo que usted ha llamado "condicionamiento múltiple" se denomina "condicionamiento iterado").

NB : En el enfoque de De Finetti ...

Introducir la noción de probabilidad condicional significa ampliar la definición de $P(X)$ del ámbito de los acontecimientos ordinarios $X$ al campo de eventos condicionales .

Esto, por supuesto, difiere de las presentaciones estándar de la teoría de la probabilidad, en la que no existen objetos como los "eventos condicionales".

Las ideas de De Finetti han sido redescubiertas y desarrolladas a finales de los años 80 (Goodman I. R., Nguyen, H. T. y E. A, Walker Inferencia condicional y lógica para sistemas inteligentes (Holanda Septentrional 1991). Más recientemente, A. Mura presentó una versión modificada de la lógica de De Finetti, dotada de una semántica que se ajusta y generaliza la lógica probabilística de Adam (véase Adams E. W., La lógica de los condicionales Reidel, 1975; Mura A. "Probability and the Logic of de Finetti's Trievents", en Galavotti M. C. (ed.) Probabilista radical De Finetti , College Publications, 2008, pp. 201-42; Mura A. 'Towards a New Logic of Indicative Conditionals', L&PS - Lógica y Filosofía de la Ciencia , 9, 2011, pp. 17-31).

Answer 2

$\Pr(X | Y) = \dfrac{\Pr(X \cap Y)}{\Pr(Y)}$ así que $\Pr((A|B)|C) = \dfrac{\Pr(A \cap B|C)}{\Pr(B|C)} =\dfrac{\frac{\Pr(A \cap B\cap C)}{\Pr(C)}}{\frac{\Pr(B\cap C)}{\Pr(C)}} = \dfrac{\Pr(A \cap B\cap C)}{\Pr(B\cap C)}=\Pr(A | B \cap C)$ por lo que son lo mismo.

Aquí hay una manera de comprobar sus números. Si tiene

• $\Pr(A \cap B \cap C) = d/s$
• $\Pr(A \cap B \cap C^c) = e/s$
• $\Pr(A \cap B^c \cap C) = f/s$
• $\Pr(A \cap B^c \cap C^c) = g/s$
• $\Pr(A^c \cap B \cap C) = h/s$
• $\Pr(A^c \cap B \cap C^c) = i/s$
• $\Pr(A^c \cap B^c \cap C) = j/s$
• $\Pr(A^c \cap B^c \cap C^c) = k/s$

donde $s=d+e+f+g+h+i+j+k$ entonces $\Pr(B \cap C) = \dfrac{d+h}{s}$ y $\Pr(A | B \cap C) = \dfrac{d}{d+h}$ .

Dado $C$ Sólo tenemos que mirar

• $\Pr(A \cap B | C) = d/t$
• $\Pr(A \cap B^c | C) = f/t$
• $\Pr(A^c \cap B | C) = h/t$
• $\Pr(A^c \cap B^c | C) = j/t$

donde $t=d+f+h+j$ (y $\Pr(C)=t/s$ ), entonces $\Pr(B|C) = \dfrac{d+h}{t}$ y $\Pr((A|B)|C) = \dfrac{d}{d+h}$ lo mismo que antes.

Answer 3

No hay tal cosa como [A dado B].

NO es "la probabilidad de {A dado B}".

Más bien, es "{la probabilidad, dado B} de A".

Answer 4

No se pueden aplicar las reglas de probabilidad estándar a los sucesos condicionales de la forma (A | B) excepto cuando A y B son sucesos ordinarios de dos valores. Los sucesos condicionales pueden ser verdaderos, falsos o nulos (por lo que la lógica de los sucesos condicionales es una lógica de tres valores). El cálculo de la probabilidad para los sucesos condicionales requiere fórmulas generalizadas. El asunto se simplifica mucho si se introducen dos conectivas funcionales de verdad unarias: T(p) y H(p) . La primera devuelve verdadero si p es verdadero y falso si p es falso o nulo. La segunda devuelve verdadero si p es verdadero o falso y falso si p es nulo. Todo evento condicional p puede escribirse como (T(p) | H(p)) y su probabilidad viene dada por la siguiente ecuación general Pr(p) = Pr(T(p))/Pr(H(p)). Si p = B|C, donde B y C son sucesos ordinarios, la fórmula da Pr(T(B|C))/Pr(H(B|C)). Pero, en este caso especial, T(B|C) = (B & C) y H(B|C) = C, por lo que si B y C son sucesos ordinarios se cumple Pr(B | C) = Pr(B & C)/Pr(C).