¿Existe una $z$ para lo cual $z$ , $1+i$ , $(1+i)z$ y $e^z$ ¿son colineales? Hay una llamada cercana alrededor de $z = .18 + 1.09i$ pero me gustaría ver una solución matemática.
Respuesta
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De verdad $t$ , dejemos que $z=(1+i)/(1+it)$ . Lo conseguí resolviendo $1+i-z = tiz$ es decir, exigiendo que los tres primeros números sean colineales. Ahora queremos $e^z-z$ también un múltiplo real de $iz$ digamos. Trazando la parte imaginaria de $(e^z-z)/(iz)$ vemos que hay una solución en torno a $t=-0.723$ , donde $z=0.17457+1.1278 i$ . Para ver que hay tal $t$ , tenga en cuenta que cuando $t=0$ esta parte imaginaria es
$$ \frac{-\operatorname{e} ^{1} \operatorname{sin} (1)}{2} + 1 - \frac{\operatorname{e} ^{1} \operatorname{cos} (1)}{2} \approx -0.88 < 0 $$
y cuando $t=-1$ es
$$ -\operatorname{sin} (1) + 1 \approx 0.16 > 0 $$
así que es cero en algún punto intermedio.
