Límite de uso por cupón

Question

Soy un estudiante de la escuela secundaria en el Cálculo, y estamos terminando el aprendizaje básico de los límites. Estoy revisando para una gran prueba de la mañana, y yo no podía hacer todos los problemas correctamente, excepto una.

No tengo idea de cómo resolver el problema de este problema correctamente. Busqué la respuesta en línea, pero no puedo averiguar cómo llegaron a sus respuestas. Todas las herramientas en línea que muestra los pasos a través de L Hospital de la regla o de derivación, pero no he aprendido aún.

Este es el problema:

$$\large\lim_{x\rightarrow 0}{\left(\frac{\frac{1}{\sqrt{1+x}}-1}{x}\right)}$$

Este es el problema que me hizo incorrectamente. Me convertí en el$-1$$\frac{\sqrt{1+x}}{\sqrt{1+x}}$, luego se resta la fracción, y se multiplica el resultado por $\frac{1}{x}$ para eliminar la doble división.

$$\large\frac{1-\sqrt{1+x}}{x\sqrt{1+x}}$$

Cuando yo sustituto $x$, I se $0$, pero la respuesta es $-\frac{1}{2}$. Estoy haciendo algo simple incorrectamente, pero realmente no puedo entenderlo.

Answer 1

Como lo hiciste, convierte a$\dfrac{1-\sqrt{1+x}}{x\sqrt{1+x}}$. (Si sustituyes, aún obtienes$0$ en el denominador, así que hay un poco más de trabajo por hacer).

Luego use el método de "conjugados algebraicos":

$$\dfrac{1-\sqrt{1+x}}{x\sqrt{1+x}} \cdot \dfrac {1+\sqrt{1+x}}{1+\sqrt{1+x}} = \dfrac{1-(1+x)}{{x \sqrt{1+x}(1+\sqrt{1+x}})}$$

and simplify, then substitute, to your answer.

If you want to learn the formatting here, it's done in $ \ LaTeX$, between \$ s. Para hacer una fracción, escriba algo como $\frac{\sqrt{2}}{2}$ - hay muchos tutoriales en línea.

Answer 2

$$\lim_{x\to 0}\frac{\frac{1}{\sqrt{1+x}}-1}{x}=\lim_{x\to 0}\frac{1}{x\sqrt{1+x}}-\frac{1}{x}=$ $$$=\lim_{x\to 0}\frac{1-\sqrt{1+x}}{x\sqrt{1+x}}=\lim_{x\to 0}\frac{1-\sqrt{1+x}}{x\sqrt{1+x}}\frac{1+\sqrt{1+x}}{1+\sqrt{1+x}}=$ $$$=\lim_{x\to 0}\frac{1-(1+x)}{x\sqrt{1+x}(1+\sqrt{1+x})}=\lim_{x\to 0}\frac{-x}{x\sqrt{1+x}(1+\sqrt{1+x})}$ $$$=\lim_{x\to 0}\frac{-1}{\sqrt{1+x}(1+\sqrt{1+x})}=-\frac{1}{2}$ $

Answer 3

La fórmula:$$f(x)= \frac{1-\sqrt{1+x}}{x \sqrt{1+x}}$$is nont able to give the limit because it gives the indeterminate form $ \ frac00 $.

Usando la expresión conjugada de$1-\sqrt{1+x}$, obtienes:$$f(x)=\frac{-x}{x \sqrt{1+x}(1+\sqrt{1+x})},$ $ y luego:$$f(x)=\frac{-1}{ \sqrt{1+x}(1+\sqrt{1+x})}$ $ y el límite está listo.

Answer 4

$$ \displaylines{ f\left( x \right) = \frac{1}{{\sqrt {1 + x} }} \Rightarrow f'\left( x \right) = \frac{{ - 1}}{{2\a la izquierda( {1 + x} \right)\sqrt {1 + x} }} \cr f'\left( 0 \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{f\left( x \right) - f\left( 0 \right)}}{{x - 0}} \cr = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\frac{1}{{\sqrt {1 + x} }} - 1}}{x} = \frac{{ - 1}}{{2\a la izquierda( {1 + 0} \right)\sqrt {1 + 0} }} \cr \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\frac{1}{{\sqrt {1 + x} }} - 1}}{x} = - \frac{1}{2} \cr} $$