¿Existe una $3\times 3$ cuadrado mágico que suma $7$ ?

Question

Sospecho que no existe un cuadrado mágico con entradas de números naturales (matriz en la que cada fila, columna y diagonal larga suman el mismo número) que sume $7$ . No hay ninguna restricción sobre los números que tienen que aparecer en las ranuras, también los números que aparecen no están restringidos a números de un solo dígito, por lo que 12 puede aparecer en el cuadrado mágico)

¿Es correcto? En caso afirmativo, ¿cómo puedo demostrarlo?

(Veo que hay bastantes preguntas sobre los cuadrados mágicos en el sitio, pero no he podido encontrar un duplicado exacto).

Lo que sigue es mi intento de escribir un cuadrado mágico que sume 7.

2, 3,2 - 3,2,2 - 2,2,3 -

Answer 1

Supongamos que tenemos un $3 \times 3$ cuadrado mágico con entradas enteras, y cada fila/columna/diagonal principal se suma a $n$ :

$$\begin{pmatrix} a &b & c \\ d& e & f \\ g &h &i \end{pmatrix}$$

Entonces

\begin{align} 3n& =(a+b+c)+(d+e+f)+(g+h+i) \\ &=e+(a+i)+(b+h)+(c+g)+(d+f) \\ &=e+(n-e)+(n-e)+(n-e)+(n-e) \\ &=4n-3e \end{align}

Así, $n=3e$ así que $n$ debe ser un múltiplo de $3$ . Desgraciadamente, $7$ no es un múltiplo de $3$ .

Answer 2

Acabo de pasar $5$ minutos probando todas las combinaciones posibles para el cuadrado central de $7$ a $4$ y es fácil ver que ninguno de estos son posibles cuadrados centrales. No preveo que haya mucho problema en comprobar los elementos $3$ a $0$ pero las posibles combinaciones de cuadrados diagonales se hacen ligeramente más grandes para valores más pequeños de la central - pero no tan grandes como para que $10$ minutos no sería suficiente para comprobarlo a mano.

Answer 3

Adam (y otros si están interesados). Aquí hay un generador general de cuadrados mágicos de 3 por 3. Dibuja una cuadrícula de 3 por 3 y escribe lo siguiente en cada casilla: Fila superior: $x+y$ , $x-y-z$ , $x+z$ , fila del medio: $x-y+z$ , $x$ , $x+y-z$ , fila de abajo: $x-z$ , $x+y+z$ , $x-y$ La suma de cada fila/columna/diagonal es $3x$