Yo soy principiante de análisis funcional y hace unos días, me enteré acerca de los operadores compactos. Si $H$ es un espacio de Hilbert, sabemos que el espacio finito de rango operadores de $F(H)$ no está cerrado en el espacio de continua (o limitado) lineal operadores de $L(H)$ en general, y su cierre es el mismo que el espacio de operadores compactos $K(H)$. He de encontrar una forma diferente de la prueba de la dirección $K(H)\subseteq \overline{F(H)}$ y quiero saber si esto es correcto o incorrecto.
Deje $T\in K(H)$ ser un operador compacto. Entonces podemos descomponer $T$ $$ T = \frac{1}{2}(T+T^{*}) + \frac{1}{2}(T-T^{*})=:T_{1}+T_{2}$$ donde $T_{1}$ es auto-adjunto y $T_{2}$ es anti-uno mismo-adjoint (me refiero a, $T_{2}^{*}=-T_{2}$), que sigue de $T^{**}=T$. Por el teorema espectral, $T_{1}$ puede ser escrito como $$ T_{1} = \sum_{n=1}^{\infty} \lambda_{n}P_{n} $$ donde $\lambda_{n}$'s son los autovalores de a $T_{1}$ satisfacción $\lim_{n\to \infty} \lambda_{n}=0$, e $P_{n}$'s son ortogonales proyecciones para los subespacios propios $E(\lambda_{n})$, los cuales son todos finito dimensionales (por lo $P_{n}$'s son finitos rango de operadores). Del mismo modo, desde $T_{2}^{*}=-T_{2}$, $(iT_{2})^{*} = -iT_{2}^{*}= iT_{2}$, $iT_{2}$ es un uno mismo-adjoint compacta de operador, por lo que podemos aplicar el teorema espectral de nuevo y llegamos $$ T_{2} = -i(iT_{2}) = -i\sum_{n=1}^{\infty} \lambda_{n}'P_{n}' $$ donde $\lambda_{n}'s$ son los autovalores de a $T_{2}$ $\lim_{n\to\infty} \lambda_{n}'=0$ $P_{n}'$'s son ortogonales proyecciones para los subespacios propios $E(\lambda_{n}')$, los cuales son finitos espacios dimensionales. Por lo tanto $$ \lim_{N\to\infty} ||T- \sum_{n=1}^{N}(\lambda_{n}P_{n}-i\lambda_{n}'P_{n}')||=0$$ y obtenemos el resultado.
