Demostrar que$f$ es diferenciable cuando$h\to 0$ en la definición a lo largo de los racionales.

Question

Deje que$f:\Bbb{R}\to \Bbb{R}$ sea continuo de manera tal que para algunos$x_o\in \Bbb{R}$,$$\lim_{h\to 0,h\in \Bbb{Q}} \frac{f(x_o+h)-f(x_o)}{h}$$ exists and is finite.Prove $ f$ is differentiable at $ x_o $

Intenté usar la continuidad en$x_o$ para hacer$f(x_o+h)-f(x_o)$ pequeño, ¡pero no pude ir más lejos!

Answer 1

Deje$$g(h)=\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h},$ $

y tenga en cuenta que$g$ es una función continua siempre desde el origen. Dejar $c=\lim_{h\to 0,\ h\in \mathbb{Q}} g(h)$. Deje$\epsilon>0$ y elija$\delta>0$ tal que$$|g(h)-c|<\epsilon/2,\ |h|<\delta,\ h\neq 0,\ h\in \mathbb{Q}.\tag{1}$ $

Para cualquier$h\neq 0$ con$|h|<\delta/2$, tome$h'\in\mathbb{Q}$ tal que$|h'|<\delta $ y$|g(h)-g(h')|<\epsilon/2$, por lo tanto, desde$(1)$ tenemos ese$$|g(h)-c|\le |g(h')-g(h)|+|g(h')-c|\le \epsilon.$ PS