Esto es un problema de deberes. Deja que $(X,Y)\sim N(\mu_1,\mu_2,\sigma^2_1,\sigma^2_2,\rho)$ . Demuestre que si $\sigma_1,\sigma_2 >0,|\rho|<1$ entonces $$ \dfrac{1}{1-\rho^2}\left\{\dfrac{(X-\mu_1)^2}{\sigma^2_1}-2\rho\dfrac{(X-\mu_1)(Y-\mu_2)}{\sigma_1\sigma_2}+\dfrac{(Y-\mu_2)^2}{\sigma^2_2}\right\}$$ tiene un $\chi^2_2$ distribución.
EDITAR:
Hay una generalización de esto: $(X-\mu)^T\Sigma^{-1}(X-\mu) \sim \chi^2_n$ donde $X=(X_1,\ldots,X_n)^T$ . La prueba es el teorema 7 aquí ( http://www2.econ.iastate.edu/classes/econ671/Hallam/documents/QUAD_NORM.pdf )
¿Se le ocurre a alguien una forma mejor de mostrar esto?
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¿Puedes resolver esto para el caso especial en el que $\mu_1=\mu_2=0$ y $\sigma_1=\sigma_2=1$ ? (Pista: ¿qué distribución tiene $Y-\rho X$ tener). Si se puede, ya está, porque el caso general se reduce fácilmente a este caso especial al normalizar las variables.
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No veo la conexión: $Y-\rho X\sim N(-\rho, \sigma^2_y-\rho^2\sigma^2_x-2\rho^2\sigma_x\sigma_y)$ .
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Creo que has calculado mal, Benjamin. Después de todo, considera el caso de las variables de varianza unitaria ( $\sigma_x=\sigma_y=1$ ): está afirmando la varianza de $Y-\rho X$ es $1-\rho^2-2\rho^2$ = $1-3\rho^2$ pero esto es negativo siempre que $\rho^2 \gt 1/3$ , lo cual es ciertamente una posibilidad. Revisa tu cálculo de los signos negativos :-). Fíjate también en que no te he sugerido que mires $Y-\rho X$ en general Mira esta combinación sólo para las variables estandarizadas.
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Ah, sí, ya veo mi error. Debería ser $Y-\rho X\sim N(-\rho, 1-\rho^2)$ . Así que puedo hacer que se vea como $(1-\rho^2)^{-1}(Y(Y-\rho X)+X(X-\rho Y))$ pero no sé qué es el producto de las normales correlacionadas. Tal vez esto no es lo que usted pretende.
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Cuando $X$ y $Y$ están estandarizados, la varianza de $Y-\rho X$ se expande en la suma Var $(Y)$ - $2\rho$ Cov $(Y,X)$ + Var $(X)$ = $1 - 2\rho\rho + 1$ = $2-2\rho^2$ . Este es un constante . Además, la media de $Y-\rho X$ obviamente es cero porque ambos $Y$ y $X$ tienen cero medios. Sin embargo, porque $Y-\rho X$ es una combinación lineal de variables Normales, debe tener una distribución Normal y hemos encontrado que tiene que ser $\sqrt{2}\sqrt{1-\rho^2}$ veces una distribución normal estándar.
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¡Caramba, necesitaba beber más café esta mañana! Será mejor que saque una calculadora o lo próximo que diré será 2+2=5. Gracias.