Cuando y es una función de sí mismo.

Question

Cuando jugando con las ecuaciones, he dos veces me encontré en el dilema en el que mi variable dependiente es dependiente de sí mismo. En el primer ejemplo de esta ocurriendo, me pasé horas y horas tratando de cosas, pero llegué a la conclusión de álgebra no podía ayudar, así que utiliza Microsoft excel para aplicar de forma recursiva a la función para valores discretos (pequeños cambios en la $x$) y se refiere a la celda anterior, el valor de la variable dependiente. Yo era capaz de alcanzar una solución de esta manera. Sin embargo, ahora que me he encontrado con este problema en un contexto diferente, me gustaría entender un poco más acerca de él y si es posible resolver con la matemática por sí solos. Permítanme contar a usted el dilema que he tenido hoy:

Considere la posibilidad de $\displaystyle v = \frac{Gmt}{r^2}$ donde $v$ es la velocidad de una partícula afectados por la gravitación de un objeto más grande, $G$ es la constante gravitacional, $m$ es la masa del objeto de mayor tamaño en la aplicación de la gravitación, $r$ es la distancia entre los dos objetos y $t$ es el tiempo.

El problema es $r$, la cual es una función del tiempo y la velocidad. Pero la velocidad es una función de $r$. Puede usted ver a mi dilema?

$$r = r_0-vt$$

donde $r_0$ es la inicial de la distancia entre los objetos (asumir sabemos que este valor)

El objetivo aquí es la trama de la velocidad como una función del tiempo, pero ni siquiera puedo obtener un hormigón en función de la velocidad. ¿Hay algún matemático técnicas que se pueden aplicar para obtener la velocidad únicamente en términos de $t$? He estado mirando lo de las edades, pero no puedo averiguar para la vida de mí. Voy a hacer acerca de esto de la manera equivocada, es posible incluso que lo que estoy pidiendo? Si no es posible, tal vez alguien puede explicarme exactamente lo que está pasando y solo me ayude a entender. Gracias, es muy apreciado.

(p.s todavía no he ido a la universidad por lo que mi formación matemática no es fuerte. Tal vez la solución es obvia y por eso me disculpo, pero por favor, ayuda si usted puede)

Answer 1

Estás en algo, pero tu pregunta me parece un poco confundido. Admito que esta respuesta es también un poco confundido, y en realidad no responder a su pregunta. Pero espero arrojar algo de luz.

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Parece que está al borde de cálculo diferencial. Voy a tratar de reconstruir el escenario:

Para una partícula de masa $m$ a pie $x$ a partir de una masa más grande $M$, la fuerza de la experiencia es, como usted dice:

$$ F=\frac{GMm}{x^2} $$

Como $F=ma$, Dividiendo ambos lados por la partícula de masa nos da esta

$$ a=\frac{GM}{x^2} $$

que es un poco más útil. Sin embargo, no se puede decir $a=\frac{v}{t}$ y multiplicar por $t$ conseguir $v=\frac{GMt}{x^2}$, ya que se supone que la aceleración es constante en el tiempo, pero en este escenario está cambiando. Sin embargo, se puede decir $a=\frac{dv}{dt}$. Observe la diferencia; es siempre cierto que la aceleración es la tasa instantánea de cambio de la velocidad a lo largo del tiempo.

$$ \frac{dv}{dt}=\frac{GM}{x^2} $$

La misma relación se aplica a la velocidad y la distancia a lo largo del tiempo; $v=\frac{dx}{dt}$. $$ \frac{d\big(\frac{dx}{dt}\big)}{dt}=\frac{d^2x}{\color{#aaa}(dt\color{#aaa})^2}=\frac{GM}{x^2} $$

Este es un de segundo orden no lineal de la ecuación diferencial. El pensamiento de $x$ es una función en términos de $t$, podríamos intentar resolver por $x(t)$ a partir de esta ecuación, pero resulta ser increíblemente complicado y en realidad no se puede reducir a una forma sólida. He aquí una pregunta relacionada.

Sin embargo, podemos resolver para $v$, haciendo algunos cálculos. Comenzando con la ecuación antes de la última, en la que podemos aplicar la regla de la cadena:

$$ \frac{dv}{dt}=\frac{dv}{dx}\times\frac{dx}{dt}=\frac{dv}{dx}\,v=\frac{GM}{x^2} $$

A continuación, separar primero las variables $v$ $x$ a cada lado, podemos integrar:

$$ \begin{align*} v\,dv&=\frac{GM}{x^2}\,dx\\ \int v\,dv&=\int \frac{GM}{x^2}\,dx\\ \frac{1}{2}v^2&=-\frac{GM}{x}\\ \end{align*} $$

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Pero, sinceramente, yo realmente no sé lo que estoy haciendo. Esperemos que alguien será capaz de extender esta respuesta (que es cómo funciona?). Hasta entonces, creo que de esta 'respuesta' como un super-largo comentario.