En el grupo de automorfismos de orden$p^n$

Question

Deje que$G$ sea un grupo finito, tal que$\mid Aut(G)\mid=p^n$. Luego, demuestre que$G$ es p-group o$G\cong P\times C_{2}$, donde$P$ es un p-group.

Gracias

Answer 1

La afirmación es falsa. Tome $G=C_{30}$. A continuación,$|Aut(C_{30})|=\varphi(30)=8=2^3$. Voy a cambiar tu estado de cuenta por este: Si $G$ es un grupo finito tal que $|Aut(G)|=p^n$ para algunos prime $p$ $G$ es uno de los siguientes grupos: $P$, $P\times C_3$, $P\times C_5$, $P\times C_{15}$, donde $P$ es un 2-grupo que no tiene un factor directo de la forma $C_2^2$ o $C_{2^k}$ $k>1$ o si $p\geq 3$ $G$ es de la forma: $Q$ o $Q\times C_2$ donde $Q$ no es abelian $p$ grupo.

Desde $G/Z(G)$ está incrustado en $Aut(G)$ $G/Z(G)$ es finita $p$-grupo y, por tanto, $G$ es nilpotent. A continuación, $G=S_{p_1}\times\dots\times S_{p_k}$ donde $S_{p_i}$ $p_i$- subgrupo de Sylow de $G$ donde $p_1,\ldots,p_k$ son los números primos la división de la orden de $G$. A continuación,$Aut(G)=Aut(S_{p_1})\times\dots\times Aut(S_{p_k})$.

Si $P$ es un no-abelian finito $p$-grupo, a continuación, $Z(P)\neq P$ y, por tanto, $Aut(P)$ contiene un elemento de orden $p$ porque $P/Z(P)$ está incrustado en $Aut(P)$. En la mayoría de los una de las $S_{p_i}$ no es abelian.

Si $P$ es de un número finito de abelian $p$-grupo, a continuación, $P=P_1\times P_2$ $P_1$ cíclica de la máxima fin, decir $p^s$, y por lo tanto $Aut(P_1)\subseteq Aut(P)$ $|Aut(P_1)|=\varphi(p^s)=p^{s-1}(p-1)$ que no es un número primo si $p>5$. Esto también implica que $2$ divide $|Aut(P)|$ si $p\geq 3$ y $p$ divide $Aut(P)$ por cada abelian finito $p$grupo $P$ si $P$ es elemental, es decir, si $G$ es de la forma $C_p^k$. Pero $|Aut(C_p^k)|=(p^k-1)(p^k-p)\dots (p^k-p^{k-1})$ que no es primo si $k>1$.

Llegamos a la conclusión de que si $|Aut(G)|=2^n$ $G$ es el producto de un 2-grupo $P$ a que no es un factor directo de la forma $C_2^2$ o $C_{2^k}$$k\geq 2$, y un grupo de $Q$, que es uno de la siguiente lista: $C_3,C_5,C_{15}$. Ejemplo de $C_2\times C_3\times C_5$. Si $|Aut(G)|=p^n$ $p\neq 2$ luego de los comentarios anteriores dicen que $G$ es el producto de un no-abelian $p$grupo $P$ $1$ o $C_2$.