¿Cómo evaluar...

Question

Cómo evaluar: $$\int \frac{\mathrm{dx}}{x^4[x(x^5-1)]^{1/3}}$$ He hecho un importante trabajo en:

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Deje $x^5z^3=x^5-1$. Así $$x^5(z^3-1)=1\implies 5x^4(z^3-1)\mathrm{d}x+x^5(-3z^2\mathrm{d}z)=0\implies \mathrm{d}x=\frac{3xz^2\mathrm{d}z}{5(z^3-1)}$$ Así: $$\int \frac{\mathrm{d}x}{x^4[x(x^5-1)]^{1/3}}\text{ o }\int x^{-13/3}(x^5-1)^{-1/3}\mathrm{d}x\\ =\int x^{-13/3}(x^5z^3)^{-1/3}.\frac{3xz^2\mathrm{d}z}{5(z^3-1)}=\frac35\int \frac{x^{-13/3}x^{-5/3}z^{-1}xz^2\mathrm{d}z}{x^{-5}}\\ =\frac35\int z\;\mathrm{d}z=\frac{3}{10}\left(\frac{x^5-1}{x^5}\right)^{2/3}+\mathcal{C}$$ Es mi trabajo, ¿correcto? Hay una manera más fácil?

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En realidad(gracias a @Jean-ClaudeArbaut):

• $x^5(\color{red}{1-z^3})=1$
• $5x^4(z^3-1)\mathrm{d}x+x^5(\color{red}{3}z^2\mathrm{d}z)=0$

Answer 1

$$ \int \dfrac{1}{x^4\left[x\left(x^5-1\right)\right)^{1/3}}dx\etiqueta{1} $$

utilizar el sub $u = 1/x^3\implies du = -\dfrac{3}{x^4} dx$.

así Eq. (1) se convierte en

$$ \int \dfrac{1}{\left(\dfrac{1}{u^2}-\dfrac{1}{u^{1/3}}\right)^{1/3}}\dfrac{du}{-3} = \dfrac{1}{-3}\int \dfrac{u^{2/3}}{\left(1-u^{5/3}\right)^{1/3}}du $$

a continuación, $v = \left(1-u^{5/3}\right)^{2/3}$

$$ dv = \dfrac{2}{3}\dfrac{-\dfrac{5}{3}u^{2/3}}{\left(1-u^{5/3}\right)^{1/3}}\rightarrow -\dfrac{9}{10}dv = \dfrac{u^{2/3}}{\left(1-u^{5/3}\right)^{1/3}}du $$

Creo que esta correcto, pero a la vez he cometido errores en el pasado!