$\lim_{n\to ∞} \left[\frac{f\left( x +\frac1n\right)}{ f(x)}\right]^n$

Question

¿Alguien podría resolver este problema por mí?

Sea f una función diferenciable positiva en el% interno$\left[\,0,\infty\right)$.

PS

Me han dicho que tome el registro, pero después de hacerlo no puedo entender.

Answer 1

Escriba$f(x+\frac{1}{n}) = f(x)+\frac{1}{n}f'(x)+O(\frac{1}{n^2})$, y obtendrá ese$$\lim \bigg(\frac{f(x+\frac{1}{n})}{f(x)}\bigg)^n = \lim\bigg(\frac{f(x)+\frac{1}{n}f'(x)}{f(x)}\bigg)^n = \lim \bigg(1+\frac{\frac{f'(x)}{f(x)}}{n}\bigg)^n = e^{\frac{f'(x)}{f(x)}}$ $

La positividad de$f$ es necesaria para garantizar que el denominador no se desvanezca.

Answer 2

Sí, usted puede tomar el logaritmo; desde $f$ se supone que para ser positivo, podemos considerar $g(x)=\log f(x)$. Tomando el logaritmo de la secuencia que se desea calcular el límite de, nos lleva a la $$ \lim_{n\to\infty}n(g(x+1/n)-g(x))= \lim_{n\to\infty}\frac{g(x+1/n)-g(x)}{1/n}=g'(x)=\frac{f'(x)}{f(x)} $$ debido a $f$ es diferenciable, por lo $g$ es diferenciable así y podemos aplicar la regla de la cadena.

Por lo tanto, su límite es $$ \lim_{n\to ∞}\biggl[\frac{f\left( x +\frac{1}{n}\right)}{f(x)}\biggr]^n= \exp\left(\frac{f'(x)}{f(x)}\right) $$