Contraíble vs. Deformación se retrae hasta un punto.

Question

Tengo una pregunta rápida sobre la diferencia entre los dos conceptos del título. La pregunta es básicamente el ex.6 (b) del libro de Hatcher titulado "Algebraic Topology". Sea $X$ sea el subespacio de $R^2$ que consiste en el segmento horizontal $[0,1] \times \{0\}$ junto con los segmentos verticales $\{r\} \times [0,1-r]$ para $r$ un número racional en $[0,1]$ . Ahora dejemos que $Y$ sea el espacio que es la unión de un número infinito de copias de $X$ dispuestos en formación de zig-zag. Ver abajo -

Ahora mi pregunta es por qué no se puede retraer una deformación $Y$ a un punto de la línea oscura en zigzag? Seguramente la línea en zig zag oscurecida es homeomorfa a $\mathbb{R}$ que es deformable hasta un punto, y cada una de las líneas verticales de cada copia de $X$ ¡deformación se retrae a su segmento de la línea en zigzag! Debo estar perdiéndome algo aquí ya que hay que demostrar que $Y$ ¡no se retrae por deformación a ningún punto!

Answer 1

En el ejercicio 5, que es el anterior a este, mostraste que "si un espacio $X$ la deformación se retrae a un punto $x \in X$ entonces para cada vecindad $U$ de $x$ en $X$ existe una vecindad $V \subset U$ de $x$ tal que el mapa de inclusión $V \hookrightarrow U$ es nulo-homotópico".

Elige un punto $z$ en $Z$ (la línea en zigzag). A continuación, puede encontrar un barrio $N$ de $z$ que está desconectado y tal que cada vecindad $U$ con $z \in U \subset N$ también está desconectado. Entonces se aplica el 5.