Aplicación de lemma Schwarz

Question

Cada función analítica que mapee el medio plano derecho derecho en sí misma debe satisfacer$$ \left|\frac{f(z)-f(1)}{f(z)+f(1)}\right| \leqslant \left|\frac {z-1}{z+1} \right|$$ for $ \ text {Re} \; z> 0. $

Tengo el presentimiento de que esta es una aplicación del Lema de Schwarz. Aunque no sé cómo proceder. Gracias por adelantado.

Answer 1

El mapa$h$ desde$\{z,\Re z>0\}$ al disco de unidad abierta$D$ dado por$h(z)=\frac{z-1}{z+1}$ es uno a uno, luego use el lema de Schwarz con$g(z):=\dfrac{f\left(\frac{1+z}{1-z}\right)-f(1)}{f\left(\frac{1+z}{1-z}\right)+f(1)}$.