¿Origen de los coeficientes de series de fourier?

Question

Me preguntaba cómo que se derivan de estas fórmulas, y por eso tenemos una fórmula distinta para $a_0$? Todo lo que sé de ingeniería avanzada de matemáticas libro de texto son las siguientes fórmulas, pero ¿de dónde vienen?

$$a_0 = \frac{1}{2L} \int_{-L}^{L} f(x) dx,~~~~a_n = \frac{1}{L} \int_{-L}^{L} f(x) \cos{\frac{n\pi x}{L}}dx,~~~~b_n = \frac{1}{L} \int_{-L}^{L} f(x) \sin{\frac{n\pi x}{L}} dx$$

He encontrado la prueba en algún lugar en la red!

para alguna función con algunas propiedades tenemos: $$\int _0 ^Tf(x)dx = \int_\alpha ^{\alpha + T}f(x)dx$$

y ahora tenemos(supongamos que $L = \pi$): $$f(x) = a_0 + \sum _{n=1}^{\infty}(a_n\cos(nx) + b_n\sen(nx))$$

Si integramos de $[-\pi, \pi]$ desde arriba tenemos: $$\int_{-\pi}^{\pi}f(x)dx = \int_{-\pi}^{\pi}a_0 + \sum _{n=1}^{\infty}\int_{-\pi}^{\pi}(a_n\cos(nx) + b_n\sen(nx))$$ la suma llega a cero y, finalmente, tenemos: $$\int_{-\pi}^{\pi}f(x)dx = 2\pi a_0$$

para $a_n$ multiplicamos la forma general de la con $\cos(nx)$ $b_n$, $\sin(nx)$ viene a jugar, este método es debido a Euler y se denomina fórmulas de Euler, Y también de fourier él mismo hizo de esta manera!

Answer 1

Tenga en cuenta que $a_0$ no tiene realmente una fórmula distinta:

Si conecta $n=0$ a $a_n$ usted obtiene la misma integral.

Por una intuición de por qué estas fórmulas son lo que son, a decir que deseaba para calcular la serie de Fourier para $\cos(nx$). Usted sabe que todos los coeficientes excepto para $b_n$ debe ser cero. Entonces, ¿cómo hacer que eso suceda? Utilice el hecho de que: $$\int_{-\pi}^\pi \cos(nx)\cos(mx)dx=0 \ \ \bigg| \ \ m\neq n$$ $$\int_{-\pi}^\pi \cos(nx)\cos(mx)dx=1 \ \ \bigg| \ \ m= n$$

Haciendo lo mismo para $\sin$, verás que la única manera de obtener los coeficientes de ser coherente con el $f(x)=\cos(nx)$ o $f(x)=\sin(nx)$ es elegir la fórmula que usted plantea.

Answer 2

El comentario de Copper.hat es realmente una respuesta. Si desea representar una función del período$2L$ en términos de las funciones$x \mapsto 1$,$x \mapsto \cos \left( \frac {n\pi x}{L} \right), x \mapsto \sin \left( \frac {n \pi x}{l} \right)$, entonces los coeficientes vienen dados por lo anterior.