¿Qué representa el número de Froude?

Question

Mientras lee en Wikipedia leo lo siguiente

El número de Froude se define como:

$$\mathrm{Fr} = \frac{v}{c}$$

donde $v$ es una velocidad característica, y $c$ es una velocidad característica de propagación de las ondas de agua. El número de Froude es, pues, análogo al número de Mach. Cuanto mayor sea el número de Froude, mayor será la resistencia.

Al leer lo siguiente papel sobre las olas de aguas poco profundas, no pude entender cómo/por qué se dio el número de Froude para ser

$$\mathrm{F} = \frac{gt_0^2}{L}$$

Dónde $t_0$ es la escala de tiempo, y $L$ es la escala de longitud a lo largo de los ejes X y Z. Obsérvese que la escala de la amplitud de la superficie por encima de la profundidad media es otra $A$ y no $L$ .

Por favor, explique cómo el autor ha definido el número de Froude. ¿Es el mismo que se da en Wikipedia? Si es así, por favor, proporcione un razonamiento paso a paso para demostrar que son realmente lo mismo. Si no es así, explique qué representa el número de Froude mencionado en el documento.

EDIT: Me gustaría añadir otra pregunta menor ya que está relacionada con lo anterior papel . Menciona que se tiene en cuenta la tensión superficial pero no entiendo cómo es posible dado que no hay ningún término que contenga la tensión superficial $\gamma$ explícitamente.

Answer 1

Para responder a la pregunta del título: ¿Qué representa el número de Froude?

El Froude ( $Fr$ ) es un valor adimensional que (típicamente) se utiliza para cuantificar el grado de linealidad/no linealidad de una onda gravitacional a través de la relación de una velocidad característica del fluido ( $v$ ) y la velocidad de las ondas gravitacionales ( $c$ ). Como se muestra a continuación, la medida es análoga a la inclinación de la onda, $s = ak$ , donde $a$ es la amplitud de la onda y $k$ es el número de onda. Consideremos una partícula de fluido incrustada en la onda, su velocidad orbital (característica), $v$ viene dada por $\omega a$ , donde $\omega$ es la frecuencia de la onda. Esto tiene sentido porque a medida que la onda avanza las partículas del fluido (en primer orden) se mueven en círculos con una escala espacial dada por la amplitud de la onda $a$ y una escala temporal dada por $\omega^{-1}$ . Además, sabemos que la velocidad de la onda viene dada por, $c = \omega/k$ Así que..:

$Fr = (v)/(c) = (\omega a)/(\omega/k) = ak = s$ . Por lo tanto, el número de Froude es análogo a la inclinación de la onda.

La importancia de este resultado radica en que, cuando se desnaturalizan las ecuaciones de Navier-Stokes, la inclinación de la onda (o $Fr$ ) termina multiplicando el término de aceleración convectiva $\mathbf{u} \cdot \nabla \mathbf{u}$ . Como sabes, este término es responsable de gran parte de la hermosa dinámica de fluidos que surge de la ruptura no lineal de las ondas, como la turbulencia. Puede leer un poco más en este otro puesto .

Así que, en esencia, el $Fr$ número te dice si una ola es grande o no. En teoría, si es mucho menor que 1 entonces la ola es lineal (pequeña), si es mayor que 1 entonces la ola se romperá porque la velocidad del fluido $v>c$ y la velocidad orbital de las partículas del fluido supera la velocidad de la onda. Es decir, la onda se vuelca y se rompe.

El número de Froude también se utiliza en otros contextos, pero éste se refiere estrictamente a las ondas gravitatorias superficiales.

Además, lo que el autor utiliza en el texto está bien, siempre que seas coherente con el escalado a lo largo de tu análisis puedes utilizar cualquier número no dimensional sensato. Puede que no sea la forma más convencional de representarlo, pero no está mal.

Answer 2

Desde $L$ es la longitud característica del fluido y $t_0$ el tiempo característico, entonces la velocidad característica es $c=L/t_0$ . Como este término está en el denominador, entonces $$\frac{1}{c} = \frac{t_0}{L}$$

El documento considera las ondas gravitacionales, por lo que imagino que la velocidad característica es entonces $v=gt_0$ (que parece ser coherente con la relación newtoniana $v_f=v_i+gt$ ). Así, $$F=\frac{v}{c} = gt_0\cdot\frac{t_0}{L} = \frac{gt_0^2}{L}$$

Así que sí, parecen ser lo mismo. Sin embargo, suelo ver el número de Froude definido como $F=v/\sqrt{gH}$ donde $H$ es la altura sobre el fondo del océano, así que estoy de acuerdo en que esta forma es extraña.