¿Por qué la "no singularidad" de los cierres algebraicos es un problema de este tipo?

Question

en álgebra por lo general resulta, que cada campo $k$ tiene una clausura algebraica $\bar k$ y que todos los algebraicas cierres de $k$ son isomorfos. Ahora empecé a preguntarme por qué la gente hace una cosa tan grande de la elección de un algebraica de cierre, en lugar de elegir la clausura algebraica. Yo sé que, en general, para dos algebraicas cierres de $\bar k$ $\bar k'$ $k$ hay muchos isomorphisms y que el algebraicas de cierre, por tanto, no tiene una característica universal, pero, ¿por qué una cosa tan grande?

Gracias por tu respuesta.

Answer 1

Tenemos el teorema de que para cualquiera de los dos algebraicas cierres de $\overline{k_1}$ $\overline{k_2}$ $k$ existe un isomorfismo $\overline{k_1}\cong \overline{k_2}$$k$.

Aquí es importante que el isomorfismo en el teorema es casi siempre altamente no-único (puede ser integrado con cualquier k-automorphism de $\overline{k_2}$, de los cuales hay muchos en general). Por lo tanto, uno debe nunca escriba $\overline{k_1}= \overline{k_2}$; uno siempre debe mantener un seguimiento de la elección de isomorfismo.

En particular, uno debe siempre hablar de un algebraica de cierre en lugar de la expresión algebraica de cierre; no hay "preferido" algebraica de cierre, excepto en los casos cuando no hay no-trivial de automorfismos $k$.

Así que esto no es una "gran cosa", pero vale la pena mencionar que, supongo.