Mostrando $\left(a + \frac{1}{2}\right)^N + \left(b + \frac{1}{2}\right)^N \in \mathbb{Z}$ para una cantidad finita de números naturales $N$

Question

Si $a$ y $b$ son enteros positivos, ¿cómo podría demostrar que $$\left(a + \frac{1}{2}\right)^N + \left(b + \frac{1}{2}\right)^N \in \mathbb Z $$ para sólo una cantidad finita de números naturales $N$ ? He intentado trastear con los mods, pero no he conseguido nada con eso...

Answer 1

Dejemos que $v_p(x)$ sea la mayor potencia en la que un primo $p$ divide $x$ . Es fácil demostrar $$v_2(x^k + y^k) = v_2(x + y)$$ cuando $k$ es impar y $x, y$ son números enteros. $($ * $)$

Tenemos $$\left(a + {1\over2}\right)^N + \left(b + {1\over2}\right)^N = {1\over{2^N}}\left((2a + 1)^N + (2b + 1)^N\right).$$ Basta con demostrar para números enteros positivos suficientemente grandes $N$ , $$ 2^N\nmid \left((2a+1)^N+(2b+1)^N\right).$$ Por $($ * $)$ basta con comprobar sólo las potencias de $2$ . Por lo tanto, considere $$ (2a+1)^{2^N}+(2b+1)^{2^N}\equiv 0\text{ }\left(\text{mod }2^{2^N}\right).$$ Pero $$ (2a+1)^{2^N}+(2b+1)^{2^N}\equiv 2\text{ }(\text{mod }8),$$ contradicción para $N \ge 1$ . Por lo tanto, hemos terminado.

Una cuestión aparentemente más interesante surge cuando sustituimos $a + 1/2$ , $b + 1/2$ con números racionales arbitrarios, ya que el hecho de que todo entero impar sea cuadrado a $1\text{ }(\text{mod }8)$ acaba con este problema. El problema modificado es eliminado por $``$ Elevación del exponente $"$ aunque $($ descrito aquí: Elevación del lema del exponente (LTE) $)$ Así que tal vez no sea mucho más interesante...