Cómo construir las formas de $\mathbb{G}_m$?

Question

Esta es una especie de secuela a una pregunta que le hice antes: las Formas de la multiplicativo grupo.

Mi pregunta es cómo construir las formas de $\mathbb{G}_m$ el uso de Galois cohomology.

Si $k$ es un campo (asumir que es de característica 0), y $X$ $k$- esquema, una forma de $X$ se define como un $k$- $X'$ tal que $X'_{\overline{k}}$ es isomorfo a $X_{\overline{k}}$. Deje $\Gamma=Gal(\overline{k}/k)$. Entonces existe un natural bijection isomorfismo entre las clases de formas de $X$$H^1(\Gamma,Aut_{\overline{k}}(X))$.

Quiero entender ambas direcciones de la correspondencia y cómo funciona para $X=\mathbb{G}_m$, y de cómo construir explícitamente las formas de $\mathbb{G}_m$. Entiendo que el mapa funciona en una dirección. Se le da forma a $X'$ con un isomorfismo $\phi:X_{\overline{k}} \rightarrow X'_{\overline{k}}$, lo que queremos es definir un cocycle de$\Gamma$$Aut_{\overline{k}}(X)$. Deje $\sigma \in \Gamma$ ser dado. A continuación, $\sigma$ induzca a otra isomorfismo $\sigma \phi:X_{\overline{k}} \rightarrow X'_{\overline{k}}$. Para obtener una cocycle, envíe $\sigma$$\phi^{-1} \circ (\sigma \phi)$. (Aquí estoy pensando en $\sigma \phi$ "arriba" y estoy empezando desde la parte inferior izquierda y va alrededor de las agujas del reloj.) No sé cómo la dirección inversa va, a pesar de que: dado un cocycle, ¿cómo se puede conseguir un formulario? ¿Cómo funciona para $\mathbb{G}_m$? Mirando hacia atrás en la pregunta que le hice antes (el enlace está arriba), todavía no veo cómo uno consigue $T_a$. Básicamente, parece que no debe ser algoritmo para obtener los formularios, pero no sé cómo funciona para este ejemplo, que debe ser el caso más simple (no de dividir el rango de uno a tori)

Answer 1

Esta es la teoría general de descenso (aquí Galois descenso). Es un poco largo y no voy a reproducir las pruebas aquí. Hay un montón de lugares donde esto se realiza, y que será explicado con más claridad que yo nunca podría.

Pero veamos lo que está pasando para $\mathbb{G}_m$. Espero que esto le dará una idea general de los hechos.

Deje $(a_\sigma)$ ser un cocycle con valor en $\operatorname{Aut}(\mathbb{G}_{m,\overline{k}})$. (Así que en realidad un homomorphism $G_k\rightarrow\{\pm 1\}$, pero por el bien de la generalidad yo sólo uso el cocycle condición).

Vamos a poner una acción de $G_k$ $\overline{k}[X,X^{-1}]$ poniendo $\sigma.P=(a_\sigma^{-1})^\#\sigma(P)$ donde $(a_\sigma^{-1})^\#$ es el anillo homomorphism inducida por $a_\sigma\in\operatorname{Aut}(\mathbb{G}_m)$ $\sigma(P)$ es la acción de Galois en el coeficiente de la de la serie de Laurent $P$.

Esto es de hecho una acción : $$(\sigma\tau).P=(a_{\sigma\tau}^{-1})^\#\sigma\tau(P)=((a_\sigma\sigma(a_\tau))^{-1})^\#\sigma\tau(P)=(a_\sigma^{-1})^\#\sigma(a_\tau^{-1})^\#\sigma\tau(P)$$ $$ \sigma.(\tau.P)=(a_\sigma^{-1})^\#\sigma((a_\tau^{-1})^\#\tau(P))$$ así que estos dos Laurent de la serie son iguales (recordemos que la acción de $G_k$ en automorfismos).

Tenga en cuenta que esta acción actúa por semi-lineal automorphism : $\sigma.(\lambda P)=\sigma(\lambda)\sigma.P$

A continuación, la construcción se $T_a\simeq \operatorname{Spec}\overline k[T,T^{-1}]^G$, el álgebra de invariantes bajo la acción.

Concretamente, hemos visto que una cocycle $(a_\sigma)$ es sólo un homomorphism $f:G_k\rightarrow\operatorname{Aut}(\mathbb{G}_m)=\{\pm 1\}$ tal que $f(\sigma)=-1$ fib $\sigma(\sqrt{a})=-\sqrt{a}$. Por lo tanto los morfismos $a_\sigma^\#$ mapas de $T$ a $T$ $\sigma(\sqrt{a})=\sqrt{a}$ y $T$ $T^{-1}$si $\sigma(\sqrt{a})=-\sqrt{a}$. O, directamente,$a_\sigma^\#(T)=T^{f(\sigma)}$.

De esto se sigue que la acción de la $G_k$$\sigma.P(T)=\sigma(P(T^{f(\sigma)}))$. De ello se desprende que el fijo álgebra consisten polinomio de la forma $\sum \lambda_i T^i$ donde $\lambda_{2i}\in k$, $\lambda_{2i+1}-\lambda_{-2i-1}\in k$ y $\lambda_{2i+1}+\lambda_{-2i-1}\in k.\sqrt{a}$. Con $U=\frac{1}{2}(T+T^{-1})$$V=\frac{\sqrt{a}}{2a}(T-T^{-1})$, esta álgebra se puede dar la siguiente descripción $k[U,V]/(U^2-aV^2-1)$. Este es exactamente el álgebra de la trenzado grupo multiplicativo $\mathbb{G}_{m,a}$.