¿Cómo calcular este límite multivariable?

Question

$$ \lim_{(x,y,z)\to (0,0,0) } \frac{\sin(x^2+y^2+z^2) + \tan(x+y+z) }{|x|+|y|+|z|} $$

Sé que todo el límite no debería existir. Además, el límite: $$ \lim_{(x,y,z)\to (0,0,0) } \frac{\tan(x+y+z) }{|x|+|y|+|z|} $$ no existe y parece el límite: $$ \lim_{(x,y,z)\to (0,0,0) } \frac{\sin(x^2+y^2+z^2) }{|x|+|y|+|z|} $$ es cero. Pero, ¿cómo puedo calcular este límite (el último)?

¿Puede ayudarme, por favor?

Muchas gracias de antemano

Answer 1

Escriba a $\frac{\sin(x^2+y^2+z^2)}{|x|+|y|+|z|}=\frac{\sin(x^2+y^2+z^2)}{x^2+y^2+z^2}\frac{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}{|x|+|y|+|z|}\sqrt{x^2+y^2+z^2}$ . El primer factor tiende a $1$ el segundo está acotado y el último tiende a cero.

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Para responder a la pregunta de su comentario:

$$x^2+y^2+z^2\leq x^2+y^2+z^2+2|x||y|+2|x||z|+2|y||z|=(|x|+|y|+|z|)^2$$

Por lo tanto $$\frac{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}{|x|+|y|+|z|}\leq1$$

Un dato a tener en cuenta es que las normas en $\mathbb{R}^n$ son todos equivalentes. $\|(x,y,z)\|_2=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$ y $\|(x,y,z)\|_1=|x|+|y|+|z|$ son a normas de $\mathbb{R}^3$ y equivalencia significa que hay constantes distintas de cero $c,C$ tal que

$$c\|\cdot\|_1\leq \|\cdot\|_2\leq C\|\cdot\|_1$$ En nuestro caso $C=1$ .

Answer 2

Otra forma de proceder es transformar las variables a coordenadas esféricas.

Para ello $x=r \sin \theta \cos \phi$ , $y=r\sin \theta \sin \phi$ y $z=r\cos \theta$ donde $0\le \theta \le \pi$ y $0\le \phi \le 2\pi$ . Entonces, el límite en cuestión es

$$\lim_{r\to 0}\left(\frac{\sin r^2}{r(|\sin \theta \cos \phi|+|\sin \theta \sin \phi|+|\cos \theta|)}\right)=0$$

Para comprobarlo, observe que

$$\lim_{r\to 0} \frac{\sin r^2}{r} =0,$$

que se puede demostrar utilizando la Regla de L'Hospital. Es importante señalar que para todos los $0\le \theta \le \pi$ y $0\le \phi \le 2\pi$ , $1\le|\sin \theta \cos \phi|+|\sin \theta \sin \phi|+|\cos \theta| \le \sqrt{3}$ está limitada.

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Ahora, para todo el problema, tenemos que examinar el límite

$$\lim_{r\to 0} \left(\frac{\sin r^2+\tan (r(\sin \theta \cos \phi +\sin \theta \sin \phi + \cos \theta))}{r(|\sin \theta \cos \phi|+|\sin \theta \sin \phi|+|\cos \theta|)}\right)$$

Claramente, el límite como $r \to 0$ no existe en la medida en que su valor depende de los valores de $\theta$ y $\phi$ . Por ejemplo, si $\theta =0$ entonces el límite es $1$ desde $\sin \theta \cos \phi +\sin \theta \sin \phi + \cos \theta = 1$ , $|\sin \theta \cos \phi|+|\sin \theta \cos \phi|+|\cos \theta| =1$ y

$$\lim_{r\to 0} \frac{\sin r^2}{r} =0$$

$$\lim_{r\to 0} \frac{\tan r}{r} = 1$$

lo que puede demostrarse fácilmente utilizando la regla de L'Hospital. Este primer límite es, de hecho, el límite en cuestión.

Si $\theta = \pi$ entonces el límite es $-1$ desde $\sin \theta \cos \phi +\sin \theta \sin \phi + \cos \theta = -1$ , $|\sin \theta \cos \phi|+|\sin \theta \cos \phi|+|\cos \theta| =1$ y

$$\lim_{r\to 0} \frac{\sin r^2}{r} =0$$

$$\lim_{r\to 0} \frac{\tan (-r)}{r} = -1$$

En la medida en que el límite no es único, no existe.