¿En qué sentido dual derecha y el trenzado de la estructura de respetar el tensor de la estructura del producto en una categoría monoidal?

Question

Todo deje $(\mathscr{C}, \otimes, \mathbf{1})$ ser una categoría monoidal (he suprimido unitors y asociador por simplicidad).

La definición habitual de un rígido categoría monoidal se realiza en dos pasos: 1) Definición de lo que significa la derecha y la izquierda dual objetos para un objeto de $X$. 2) Todos los objetos tienen la derecha y la izquierda duales. También exigimos la rigidez axiomas como una condición de coherencia. Mi primera pregunta es la siguiente:

La rigidez pone un extra de estructura, dualizable los objetos, en la $\mathscr{C}$. Nuevas estructuras deben respetar las viejas estructuras. Por lo que el la pregunta es el derecho de doble functor, $*$, un monoidal functor? Es debe ser!

Así que he investigado y encontrado que $*$ puede ser definida como un monoidal functor $*:(\mathscr{C}, \otimes)\to (\mathscr{C}^\text{op}, \otimes^\text{op})$ donde $\otimes^\text{op}$ es un bifunctor como $\otimes$ tal que $X\otimes^\text{op} Y=Y\otimes X$. Esto hace perfecto sentido para mí, pero quiero asegurarme de que es la verdad.

Ahora pasemos a la segunda pregunta: Supongamos $\mathscr{C}$ tiene un trenzado de la estructura (quitar rigidez). Trenzado $\sigma$ es en sí misma una transformación natural entre el bifunctors $\otimes$ $\otimes^\text{op}$ tanto definir como $\mathscr{C}\times \mathscr{C}\to \mathscr{C}$.

¿En qué sentido el trenzado estructura respeta el producto tensor estructura? Dudo mucho que $\sigma$ puede ser definida como un monoidal functor! La manera correcta, creo, debe ser el tratamiento de $\sigma$ como monoidal transformación natural. Pero, ¿cómo exactamente?

Lo intenté, pero no puede encontrar nada razonable. ¿Alguien puede arrojar algo de luz sobre esto?

Answer 1

Estás pidiendo dos básicamente independiente de preguntas aquí, así que realmente deben estar separados, pero sí, teniendo duales es monoidal. El argumento se generaliza a la observación de que la toma de adjoints de 1-morfismos en 2-categorías de aspectos de la composición.

Como para braidings, una forma de definir un trenzado de categoría monoidal es como un "monoidal categoría monoidal" (o "$E_2$ categoría", para abreviar), es decir, es una categoría equipado con dos monoidal estructuras de $\otimes_1, \otimes_2$ ambos de los cuales son monoidal con respecto a cada uno de los otros. El trenzado proviene de la aplicación de la Eckmann-Hilton argumento a esta situación. Consigue que los dos monoidal estructuras son equivalentes, pero a lo largo de la manera de escribir de esta equivalencia se terminan de escribir una trenzado.

Answer 2

Tienes razón sobre el primero. La forma más sencilla de ver su es. Es la categoría monoidal como un bicategorywith un solo objeto. A continuación, un dual es sólo un adjunto, y es bien sabido que adjunto dijo que se functorial de esta manera.

Por otro lado, llamar a la trenzando un monoidal transformación natural sería el enfoque equivocado. Intentar escribir lo que eso significa: implica la realización de $\otimes^{op}$ en un monoidal functor! En lugar usted quiere saber cómo funciona cuando la trenza de hilo de varios hilos en diversos órdenes, por ejemplo, cómo los caminos $abc \to cba$ comparar. Este es el resumen sucintamente en la condición de que el trenzado debe inducir a una acción de la trenza de grupo en cada lista de $n$ objetos, de modo que usted puede encontrar las relaciones necesarias por looki la trenza de grupo, o por la visualización que se retuerce de las hileras adyacentes en una trenza que se afectan unos a otros. (Esta gráfica de cálculo es realmente indispensable para el estudio estructurado monoidal categorías).