El uso de la Prueba de Comparación

Question

El uso de la Prueba de Comparación para determinar para qué valores de a $p$ integral: $\int_{8}^{\infty} \frac{1}{x^p} \ ln(x) \ dx$ converge. (Uso de la notación de intervalo.) $$\\$$

Esto es lo que tengo hasta ahora:

Estoy comparando a $\frac{1}{x}$, que diverge.

No estoy seguro de qué hacer a continuación. Sé que comienza a converger de 2.

Yo realmente apreciaría tu ayuda.

Answer 1

Para cualquier $p > 1$ elija $a$ tal que $0 < a < p-1$.

Tenemos

$$\frac{\ln x}{x^p} = \frac{\ln x^a}{ax^p} < \frac{x^a}{ax^p} = \frac{1}{ax^{p-a}}$$

Desde $p-a > 1$ hemos convergencia para cualquier $p > 1$.

La integral diverge si $p \leqslant 1$ por una sencilla comparación: $\ln x / x^p > 1/x^p$

Answer 2

Tenga en cuenta que para $x>1,\ln { x } <x$, por lo que $$\\ \int _{ 8 }^{ \infty }{ \frac { \ln { x } }{ { x }^{ p } } dx<\int _{ 8 }^{ \infty }{ \frac { dx }{ { x }^{ p-1 } } dx } } \\ \\ \\ \\ \\ \\ $$ and RHS converges when $p-1>1$ or $p>2$

Answer 3

Tomar una arbitraria $\eta >8.$ Integración por partes de los rendimientos de$$\int\limits_{8}^{\eta} \frac{1}{x^p}\ln{x} \,dx = -\dfrac{1}{p-1}\int\limits_{8}^{\eta}\ln{x} \, d\left(x^{-(p-1)} \right) = \\ = -\dfrac{1}{p-1}\left(\dfrac{\ln{x} }{x^{p-1}} \Bigg\vert_{8}^{\eta} - \int\limits_{8}^{\eta} \dfrac{dx}{x^p}\right).$$ A continuación, el uso de L'Hospital de la regla, $$\lim\limits_{\eta\+\infty} {\dfrac{\ln{x} }{x^{p-1}} \Bigg\vert_{8}^{\eta}} = \begin{cases} 0 - \dfrac{\ln{\eta} }{\eta^{p-1}} \ \text{(exists and is finite) for } \ p > 1, \\ +\infty, \ \text{if} \ p \leqslant 1 . \end{casos}$$ El límite $$\lim\limits_{\eta\to+\infty}\int\limits_{8}^{\eta} \dfrac{dx}{x^p}$$ exists for $p>1$ and is infinite, if $ p \leqslant 1 .$