Todo espacio Hausdorff infinito tiene un subespacio discreto infinito

Question

Quiero demostrar que cualquier espacio infinito de Hausdorff contiene un subespacio discreto infinito.

Me motiva el papel de $\mathbb N$ en $\mathbb R$ . Sabemos que si un espacio de Hausdorff es finito, entonces es un espacio discreto, pero un subespacio infinito de un espacio de Hausdorff no es necesariamente discreto.

Answer 1

Esta parece ser una pregunta antigua, así que daré una respuesta bastante completa.

Supongamos que $X$ es un espacio Hausdorff infinito. Elegimos inductivamente conjuntos abiertos no vacíos $\{ U_i : i \in \mathbb{N} \}$ tal que $X \setminus \bigcup_{i=0}^n \overline{U_i}$ es infinito, y $U_{n+1} \subseteq X \setminus \bigcup_{i=0}^n \overline{U}_i$ . Si podemos hacer esto, entonces elegir $x_i \in U_i$ nos dará un subconjunto discreto infinito de $X$ .

Nótese que sólo necesitamos demostrar que dado cualquier espacio infinito de Hausdorff $X$ hay un abierto no vacío $U \subseteq X$ tal que $X \setminus \overline{U}$ es infinito, ya que en el siguiente paso consideramos el subespacio abierto $Y = X \setminus \overline{U}$ de $X$ . (Si $V \subseteq Y$ está abierto en $Y$ ,entonces por la apertura de $Y$ en $X$ se deduce que $V$ está abierto en $X$ . Si $Y \setminus \mathrm{cl}_Y (V)$ es infinito, entonces como $\mathrm{cl}_Y ( V ) = \overline{V} \cap Y$ se deduce que $X \setminus ( \overline{U} \cup \overline{V} )$ es infinito).

Bueno, supongamos que no. Entonces toma cualquier abierto no vacío $U \subseteq X$ tal que $\overline{U} \neq X$ (debe existir por Hausdorffness). Se deduce que el subespacio $X \setminus \overline{U}$ es finito y T $_1$ y por eso es discreto. Pero entonces para cualquier $x \in X \setminus \overline{U}$ tenemos que $U_0 = \{ x \}$ está abierto en $X \setminus \overline{U}$ y como éste es un subespacio abierto de $X$ también está abierto en $X$ . Por T $_1$ -ness $U_0$ también está cerrado en $X$ y así $X \setminus \overline{U_0} = X \setminus \{ x \}$ ¡es infinito!