Módulos D y conexiones

Question

Dejemos que $X$ sea una variedad algebraica lisa con una gavilla tangente $\Theta$ y $M$ una gavilla de módulos sobre $X$ . Sea $D$ sea el conjunto de operadores diferenciales sobre $X$ .

Luego, dando un giro a la izquierda $D-$ estructura de módulos en $M$ equivale a dar un homomorfismo

$\nabla: \Theta \rightarrow End(M)$ con

1: $\nabla_{f \theta}(s)=f\nabla_\theta(s)$

2: $\nabla_\theta (fs)=\theta(f)s+f\nabla_\theta(s)$

3: $\nabla_{[\theta_1,\theta_2]}(s)=[\nabla_{\theta_1},\nabla_{\theta_2}](s)$ ,

donde $\theta \in \Theta, f \in O_X, s \in M$ .

La estructura del módulo viene dada por $\theta s=\nabla_\theta(s)$ He comprobado todas las condiciones excepto la asociatividad, es decir, por qué se puede deducir de 3: que $(\theta_1 \theta_2)s = \theta_1(\theta_2s)$ ¿tiene?

Answer 1

No creo que debas "deducir" la fórmula de 3. En cambio, considera la fórmula como una definición de cómo los generadores de $\mathcal{D}_X$ actuar $M$ . Lo que hay que hacer entonces es comprobar que esta definición es compatible con las relaciones en $\mathcal{D}_X$ utilizando su condición 3 (el hecho de que $\nabla$ es un morfismo de álgebras de Lie). Pero esto es casi tautológico ya que estas relaciones son $\theta_1\theta_2 - \theta_2\theta_1 = [\theta_1,\theta_2]$ y $\theta f - f\theta = \theta(f)$ .

Ayuda a pensar en $\mathcal{D}_X$ como el álgebra envolvente universal del álgebra de Lie $\Theta_X$ .