ecuación de difusión, inhomogenous condiciones de frontera (el método de sustracción)

Question

Recientemente estoy leyendo un libro sobre el P. D. E. la Mayoría del tiempo los libros de texto tratan principalmente sobre homogéneo de ecuaciones y condiciones de contorno.

Tengo curiosidad ¿cómo se podía resolver decir, la ecuación del calor con inhomogenous condiciones de contorno?

$u_t=u_{xx}$

$u(0,t)=b(t)$ (Dirichlet BC)

o $u_x(0,t)=b(t)$ (Neumann BC)

En algún lado leí acerca de un "método de sustracción", cuando uno permite a $v(x,t)=u(x,t) - ...$ , pero realmente no lo entiendo.

Sinceras gracias por la ayuda.

Answer 1

De hecho, el "método de sustracción" usted lo llama, es un pequeño truco que deliberadamente cambiar algunas de las condiciones no homogéneas a ser homogénea mediante la aplicación de la variable de transformación en la variable dependiente sólo.

Este pequeño truco, se introduce brevemente en http://maths.swan.ac.uk/staff/vl/pdes-course.pdf#page=32 y http://maths.swan.ac.uk/staff/vl/pdes-course.pdf#page=38.

Por ejemplo, las ecuaciones en derivadas parciales con variables dependientes $u$ y las variables independientes $x$$t$ , el truco es el siguiente:

para deliberadamente el cambio de $u(0,t)=f(t)$ y $u(a,t)=g(t)$ $(a\neq0)$ : Deje $v(x,t)=u(x,t)-f(t)-\dfrac{x}{a}(g(t)-f(t))$

para deliberadamente el cambio de $u(0,t)=f(t)$$u_x(a,t)=g(t)$ : Vamos a $v(x,t)=u(x,t)-f(t)-xg(t)$

para deliberadamente el cambio de $u_x(0,t)=f(t)$$u(a,t)=g(t)$ : Vamos a $v(x,t)=u(x,t)-(x-a)f(t)-g(t)$

para deliberadamente el cambio de $u_x(0,t)=f(t)$ y $u_x(a,t)=g(t)$ $(a\neq0)$ : Deje $v(x,t)=u(x,t)-h(t)-xf(t)-\dfrac{x^2}{2a}(g(t)-f(t))$

Los otros tipos de punto de cambiar ejemplos de hojas de ti mismo a pensar.

A veces este pequeño truco se debe aplicar, por ejemplo, en los Límites en la ecuación del calor y la ecuación del Calor con un desconocido coeficiente de difusión, de lo contrario obtendrá la equivocada conclusión de que no tiene solución.

Para este problema, es posible que deje $v(x,t)=u(x,t)-b(t)-xb(t)$ , pero ya que no hay otras condiciones que existen, así que no tienen necesariamente para aplicar este truco, sólo seckilling este problema por uno de estos dos métodos:

Enfoque de $1$: separación de variables

Caso $1$: $\text{Re}(t)\geq0$

Deje $u(x,t)=X(x)T(t)$ ,

A continuación, $X(x)T'(t)=X''(x)T(t)$

$\dfrac{T'(t)}{T(t)}=\dfrac{X''(x)}{X(x)}=-s^2$

$\begin{cases}\dfrac{T'(t)}{T(t)}=-s^2\\X''(x)+s^2X(x)=0\end{cases}$

$\begin{cases}T(t)=c_3(s^2)e^{-ts^2}\\X(x)=\begin{cases}c_1(s^2)\sin xs+c_2(s^2)\cos xs&\text{when}~s\neq0\\c_1x+c_2&\text{when}~s=0\end{cases}\end{cases}$

$\therefore u(x,t)=C_1x+C_2+\int_0^\infty C_3(s^2)e^{-ts^2}\sin xs~ds+\int_0^\infty C_4(s^2)e^{-ts^2}\cos xs~ds$

$u_x(x,t)=C_1+\int_0^\infty sC_3(s^2)e^{-ts^2}\cos xs~ds-\int_0^\infty sC_4(s^2)e^{-ts^2}\sin xs~ds$

$u_x(0,t)=b(t)$ :

$C_1+\int_0^\infty sC_3(s^2)e^{-ts^2}~ds=b(t)$

$\int_0^\infty\dfrac{C_3(s^2)e^{-ts^2}}{2}d(s^2)=b(t)-C_1$

$\int_0^\infty\dfrac{C_3(s)e^{-ts}}{2}ds=b(t)-C_1$

$\mathcal{L}_{s\to t}\biggl\{\dfrac{C_3(s)}{2}\biggr\}=b(t)-C_1$

$C_3(s)=2\mathcal{L}^{-1}_{t\to s}\{b(t)\}-2C_1\delta(s)$

$\therefore u(x,t)=C_1x+C_2+2\int_0^\infty\mathcal{L}^{-1}_{t\to s^2}\{b(t)\}e^{-ts^2}\sin xs~ds-2C_1\int_0^\infty\delta(s^2)e^{-ts^2}\sin xs~ds+\int_0^\infty C_4(s^2)e^{-ts^2}\cos xs~ds=C_1x+C_2+2\int_0^\infty\mathcal{L}^{-1}_{t\to s^2}\{b(t)\}e^{-ts^2}\sin xs~ds-C_1\int_0^\infty\dfrac{\delta(s^2)e^{-ts^2}\sin xs}{s}d(s^2)+\int_0^\infty C_4(s^2)e^{-ts^2}\cos xs~ds=C_1x+C_2+2\int_0^\infty\mathcal{L}^{-1}_{t\to s^2}\{b(t)\}e^{-ts^2}\sin xs~ds-C_1\int_0^\infty\dfrac{\delta(s)e^{-ts}\sin x\sqrt{s}}{\sqrt{s}}ds+\int_0^\infty C_4(s^2)e^{-ts^2}\cos xs~ds=C_1x+C_2+2\int_0^\infty\mathcal{L}^{-1}_{t\to s^2}\{b(t)\}e^{-ts^2}\sin xs~ds-C_1\lim\limits_{s\to 0}\dfrac{e^{-ts}\sin x\sqrt{s}}{\sqrt{s}}+\int_0^\infty C_4(s^2)e^{-ts^2}\cos xs~ds=C_1x+C_2+2\int_0^\infty\mathcal{L}^{-1}_{t\to s^2}\{b(t)\}e^{-ts^2}\sin xs~ds-C_1\lim\limits_{s\to 0}\dfrac{\dfrac{xe^{-ts}\cos x\sqrt{s}}{2\sqrt{s}}-te^{-ts}\sin x\sqrt{s}}{\dfrac{1}{2\sqrt{s}}}+\int_0^\infty C_4(s^2)e^{-ts^2}\cos xs~ds=C_1x+C_2+2\int_0^\infty\mathcal{L}^{-1}_{t\to s^2}\{b(t)\}e^{-ts^2}\sin xs~ds-C_1\lim\limits_{s\to 0}(xe^{-ts}\cos x\sqrt{s}-2t\sqrt{s}e^{-ts}\sin x\sqrt{s})+\int_0^\infty C_4(s^2)e^{-ts^2}\cos xs~ds=C_1x+C_2+2\int_0^\infty\mathcal{L}^{-1}_{t\to s^2}\{b(t)\}e^{-ts^2}\sin xs~ds-C_1x+\int_0^\infty C_4(s^2)e^{-ts^2}\cos xs~ds=C_2+2\int_0^\infty\mathcal{L}^{-1}_{t\to s^2}\{b(t)\}e^{-ts^2}\sin xs~ds+\int_0^\infty C_4(s^2)e^{-ts^2}\cos xs~ds$

$u(0,t)=b(t)$ :

$C_2+\int_0^\infty C_4(s^2)e^{-ts^2}~ds=b(t)$

$\int_0^\infty\dfrac{C_4(s^2)e^{-ts^2}}{2s}d(s^2)=b(t)-C_2$

$\int_0^\infty\dfrac{C_4(s)e^{-ts}}{2\sqrt{s}}ds=b(t)-C_2$

$\mathcal{L}_{s\to t}\biggl\{\dfrac{C_4(s)}{2\sqrt{s}}\biggr\}=b(t)-C_2$

$C_4(s)=2\sqrt{s}\mathcal{L}^{-1}_{t\to s}\{b(t)\}-C_2\delta(\sqrt{s})$

$\therefore u(x,t)=C_2+2\int_0^\infty\mathcal{L}^{-1}_{t\to s^2}\{b(t)\}e^{-ts^2}\sin xs~ds+2\int_0^\infty s\mathcal{L}^{-1}_{t\to s^2}\{b(t)\}e^{-ts^2}\cos xs~ds-C_2\int_0^\infty\delta(s)e^{-ts^2}\cos xs~ds=C_2+2\int_0^\infty\mathcal{L}^{-1}_{t\to s^2}\{b(t)\}e^{-ts^2}\sin xs~ds+2\int_0^\infty s\mathcal{L}^{-1}_{t\to s^2}\{b(t)\}e^{-ts^2}\cos xs~ds-C_2=2\int_0^\infty\mathcal{L}^{-1}_{t\to s^2}\{b(t)\}e^{-ts^2}\sin xs~ds+2\int_0^\infty s\mathcal{L}^{-1}_{t\to s^2}\{b(t)\}e^{-ts^2}\cos xs~ds$

Caso $2$: $\text{Re}(t)\leq0$

Deje $u(x,t)=X(x)T(t)$ ,

A continuación, $X(x)T'(t)=X''(x)T(t)$

$\dfrac{T'(t)}{T(t)}=\dfrac{X''(x)}{X(x)}=s^2$

$\begin{cases}\dfrac{T'(t)}{T(t)}=s^2\\X''(x)-s^2X(x)=0\end{cases}$

$\begin{cases}T(t)=c_3(s^2)e^{ts^2}\\X(x)=\begin{cases}c_1(s^2)\sinh xs+c_2(s^2)\cosh xs&\text{when}~s\neq0\\c_1x+c_2&\text{when}~s=0\end{cases}\end{cases}$

$\therefore u(x,t)=C_1x+C_2+\int_0^\infty C_3(s^2)e^{ts^2}\sinh xs~ds+\int_0^\infty C_4(s^2)e^{ts^2}\cosh xs~ds$

$u_x(x,t)=C_1+\int_0^\infty sC_3(s^2)e^{ts^2}\cosh xs~ds+\int_0^\infty sC_4(s^2)e^{ts^2}\sinh xs~ds$

$u_x(0,t)=b(t)$ :

$C_1+\int_0^\infty sC_3(s^2)e^{ts^2}~ds=b(t)$

$\int_0^\infty\dfrac{C_3(s^2)e^{ts^2}}{2}d(s^2)=b(t)-C_1$

$\int_0^\infty\dfrac{C_3(s)e^{ts}}{2}ds=b(t)-C_1$

$\int_0^\infty\dfrac{C_3(s)e^{-ts}}{2}ds=b(-t)-C_1$

$\mathcal{L}_{s\to t}\biggl\{\dfrac{C_3(s)}{2}\biggr\}=b(-t)-C_1$

$C_3(s)=2\mathcal{L}^{-1}_{t\to s}\{b(-t)\}-2C_1\delta(s)$

$\therefore u(x,t)=C_1x+C_2+2\int_0^\infty\mathcal{L}^{-1}_{t\to s^2}\{b(-t)\}e^{ts^2}\sinh xs~ds-2C_1\int_0^\infty\delta(s^2)e^{ts^2}\sinh xs~ds+\int_0^\infty C_4(s^2)e^{ts^2}\cosh xs~ds=C_1x+C_2+2\int_0^\infty\mathcal{L}^{-1}_{t\to s^2}\{b(-t)\}e^{ts^2}\sinh xs~ds-C_1\int_0^\infty\dfrac{\delta(s^2)e^{ts^2}\sinh xs}{s}d(s^2)+\int_0^\infty C_4(s^2)e^{ts^2}\cosh xs~ds=C_1x+C_2+2\int_0^\infty\mathcal{L}^{-1}_{t\to s^2}\{b(-t)\}e^{ts^2}\sinh xs~ds-C_1\int_0^\infty\dfrac{\delta(s)e^{ts}\sinh x\sqrt{s}}{\sqrt{s}}ds+\int_0^\infty C_4(s^2)e^{ts^2}\cosh xs~ds=C_1x+C_2+2\int_0^\infty\mathcal{L}^{-1}_{t\to s^2}\{b(-t)\}e^{ts^2}\sinh xs~ds-C_1\lim\limits_{s\to 0}\dfrac{e^{ts}\sinh x\sqrt{s}}{\sqrt{s}}+\int_0^\infty C_4(s^2)e^{ts^2}\cosh xs~ds=C_1x+C_2+2\int_0^\infty\mathcal{L}^{-1}_{t\to s^2}\{b(-t)\}e^{ts^2}\sinh xs~ds-C_1\lim\limits_{s\to 0}\dfrac{\dfrac{xe^{ts}\cosh x\sqrt{s}}{2\sqrt{s}}+te^{ts}\sinh x\sqrt{s}}{\dfrac{1}{2\sqrt{s}}}+\int_0^\infty C_4(s^2)e^{ts^2}\cosh xs~ds=C_1x+C_2+2\int_0^\infty\mathcal{L}^{-1}_{t\to s^2}\{b(-t)\}e^{ts^2}\sinh xs~ds-C_1\lim\limits_{s\to 0}(xe^{ts}\cosh x\sqrt{s}+2t\sqrt{s}e^{ts}\sinh x\sqrt{s})+\int_0^\infty C_4(s^2)e^{ts^2}\cosh xs~ds=C_1x+C_2+2\int_0^\infty\mathcal{L}^{-1}_{t\to s^2}\{b(-t)\}e^{ts^2}\sinh xs~ds-C_1x+\int_0^\infty C_4(s^2)e^{ts^2}\cosh xs~ds=C_2+2\int_0^\infty\mathcal{L}^{-1}_{t\to s^2}\{b(-t)\}e^{ts^2}\sinh xs~ds+\int_0^\infty C_4(s^2)e^{ts^2}\cosh xs~ds$

$u(0,t)=b(t)$ :

$C_2+\int_0^\infty C_4(s^2)e^{ts^2}~ds=b(t)$

$\int_0^\infty\dfrac{C_4(s^2)e^{ts^2}}{2s}d(s^2)=b(t)-C_2$

$\int_0^\infty\dfrac{C_4(s)e^{ts}}{2\sqrt{s}}ds=b(t)-C_2$

$\int_0^\infty\dfrac{C_4(s)e^{-ts}}{2\sqrt{s}}ds=b(-t)-C_2$

$\mathcal{L}_{s\to t}\biggl\{\dfrac{C_4(s)}{2\sqrt{s}}\biggr\}=b(-t)-C_2$

$C_4(s)=2\sqrt{s}\mathcal{L}^{-1}_{t\to s}\{b(-t)\}-C_2\delta(\sqrt{s})$

$\therefore u(x,t)=C_2+2\int_0^\infty\mathcal{L}^{-1}_{t\to s^2}\{b(-t)\}e^{ts^2}\sinh xs~ds+2\int_0^\infty s\mathcal{L}^{-1}_{t\to s^2}\{b(-t)\}e^{ts^2}\cosh xs~ds-C_2\int_0^\infty\delta(s)e^{ts^2}\cosh xs~ds=C_2+2\int_0^\infty\mathcal{L}^{-1}_{t\to s^2}\{b(-t)\}e^{ts^2}\sinh xs~ds+2\int_0^\infty s\mathcal{L}^{-1}_{t\to s^2}\{b(-t)\}e^{ts^2}\cosh xs~ds-C_2=2\int_0^\infty\mathcal{L}^{-1}_{t\to s^2}\{b(-t)\}e^{ts^2}\sinh xs~ds+2\int_0^\infty s\mathcal{L}^{-1}_{t\to s^2}\{b(-t)\}e^{ts^2}\cosh xs~ds$

Por lo tanto $u(x,t)=\begin{cases}2\int_0^\infty\mathcal{L}^{-1}_{t\to s^2}\{b(t)\}e^{-ts^2}\sin xs~ds+2\int_0^\infty s\mathcal{L}^{-1}_{t\to s^2}\{b(t)\}e^{-ts^2}\cos xs~ds&\text{when Re}(t)\geq0\\2\int_0^\infty\mathcal{L}^{-1}_{t\to s^2}\{b(-t)\}e^{ts^2}\sinh xs~ds+2\int_0^\infty s\mathcal{L}^{-1}_{t\to s^2}\{b(-t)\}e^{ts^2}\cosh xs~ds&\text{when Re}(t)\leq0\end{cases}$

Enfoque de $2$: de potencia de la serie método de

Similar a la de la PDE - solución con poder serie:

Deje $u(x,t)=\sum\limits_{n=0}^\infty\dfrac{x^n}{n!}\dfrac{\partial^nu(0,t)}{\partial x^n}$ ,

A continuación, $u(x,t)=\sum\limits_{n=0}^\infty\dfrac{x^{2n}}{(2n)!}\dfrac{\partial^{2n}u(0,t)}{\partial x^{2n}}+\sum\limits_{n=0}^\infty\dfrac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}\dfrac{\partial^{2n+1}u(0,t)}{\partial x^{2n+1}}=\sum\limits_{n=0}^\infty\dfrac{x^{2n}}{(2n)!}\dfrac{\partial^nu(0,t)}{\partial t^n}+\sum\limits_{n=0}^\infty\dfrac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}\dfrac{\partial^nu_x(0,t)}{\partial t^n}=\sum\limits_{n=0}^\infty\dfrac{x^{2n}}{(2n)!}\dfrac{\partial^nb(t)}{\partial t^n}+\sum\limits_{n=0}^\infty\dfrac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}\dfrac{\partial^nb(t)}{\partial t^n}$

Answer 2

La idea es básicamente la misma que la idea detrás de la resolución de no homogéneas ecuaciones diferenciales ordinarias mediante la búsqueda de un determinado integral y una función complementaria. La forma que yo sé hacer es, creo, lo que está llamando el método de sustracción.

Me doy cuenta de que te han dado sólo una condición de contorno para cada tipo de condición, por lo general usted necesitaría dos condiciones de contorno para obtener una solución única para el problema, solo que pensé que me gustaría mencionar. Me voy a referir a las condiciones de contorno en plural, ya que esto le da una única solución, pero me imagino que el mismo método funciona para sólo una condición de contorno, usted sólo tendrá una serie de no-soluciones únicas.

Primero buscar una función de $u'$ llama la solución particular que resuelve la ecuación y satisface su homogénea en BCs. Luego de resolver la ecuación de una nueva función, $\hat u := u - u' $ con el ahora homogénea BCs. (Tenga en cuenta que al hacer esto sus condiciones iniciales para $\hat u$ serán diferentes a los de la original $u$)

Encontrar una solución particular $u'$ no es siempre fácil, dependiendo de la forma de $b(t)$, y de hecho no estoy seguro de que hay una manera de hacerlo por el general de BCs. Sin embargo, una buena manera de hacerlo (cuando el límite de las condiciones de $b(t)$ son independientes del tiempo, es decir, hay puntos con un monto fijo de la cantidad que se difunden) es encontrar un "estado estable de soluciones", que no varían con el tiempo, y puede ser pensado como el largo plazo el comportamiento de la solución general, donde todas comportamiento a corto plazo se ha diluido (en términos de difusión, esta sería la limitación de la conducta cuando la cantidad en cuestión se ha difundido a ser repartidas en el espacio en un equilibrio determinado por nuestras condiciones de contorno).

Answer 3

Aquí es un enfoque diferente, llamado el método de eigenfunction expansiones.