La motivación de esta pregunta realmente proviene de este (muy antiguo) artículo de Weinberg. Él considera una teoría de piones sin masa. Tienen una simetría quiral $SU(2)_{L} \times SU(2)_{R}$. Los piones son como bosones de Goldstone. También conserva el isoespín y está construido solo a partir de un "derivada covariante quiral". Después de eso, él define la derivada covariante del campo de piones como \begin{equation*} D_{\mu} \pi = \frac{\partial_{\mu} \pi}{1+ \pi^{2}} \end{equation*> He intentado obtener este resultado de la siguiente manera: empiezo con el Lagrangiano del modelo sigma no lineal $\mathcal{L} = f_{ij}\partial_{\mu}\phi^{i}\partial^{\mu}\phi^{j}$. Los campos escalares $\phi^{i}$ forman un campo de vectores unitarios de $N$ componentes $n^{i}(x)$. Entonces, si impongo la restricción $\sum_{i=1}^{N} n^{i \dagger} n^{i} = 1$. A pesar de imponer las restricciones correctas, no obtengo el signo correcto en el denominador. Obtengo $1-\pi^2$. ¿Dónde exactamente estoy cometiendo un error? El propio Weinberg dice que esto viene de una "definición adecuada del campo de piones" pero, ¿cómo parametrizo este campo para obtener la derivada covariante correcta?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Los campos Pion son las coordenadas de la proyección estereográfica:
$\phi_i = \frac{2 \pi_i}{1 + \pi^2} , i = 1, ..., n-1$
Donde:
$\pi^2 = \sum_{i=1}^{N-1} \pi_i\pi_i$
Y:
$\phi_n = \frac{-1 + \pi^2}{1 + \pi^2} $
Como se puede ver, esta construcción resuelve la ecuación de restricción: $ \sum_{a=1}^{N} \phi_a\phi_a= 1$.
Sustituyendo en el Lagrangiano, obtenemos:
$\partial_{\mu} \phi_a\partial^{\mu} \phi_a = \frac{\partial_{\mu}\pi_i\partial^{\mu} \pi_i}{(1 + \pi^2)^2} = D_{\mu}\pi_i D^{\mu} \pi_i$
