la probabilidad de un tirón un total de 20 cabezas antes de voltear 10 colas en una fila?

Question

Quiero encontrar la probabilidad de que voy a voltear una moneda y obtener $10$ cabezas en una fila antes de que le doy la vuelta un total de $20$ colas. O por el contrario, la probabilidad de que voy a mover de un tirón un total de $20$ cabezas antes de que yo flip $10$ colas en una fila. Me gustaría ver el trabajo y tiene una explicación. También, este debe ser capaz de ser aplicado a una injusta de la moneda. Gracias!

La probabilidad de un tirón $10$ a cara o cruz en una fila sería $(0.5)^{10}$ para una feria de la moneda. Sé cómo calcular la probabilidad de un total de $20$ colas en $x$ volteretas, sino $x$ tiene que ser definido para obtener una respuesta, al menos en lo que soy consciente.

Gracias!

Answer 1

Para cada $n\geqslant0$, vamos a $p_n$ denotar la probabilidad de que $n$ colas aparecer antes de cualquier ejecución de $10$ cabezas se ha completado. A continuación, $p_0=1$ y, para cada $n\geqslant0$, acondicionado en el tiempo cuando el $n$th cola aparece, se pone en $p_{n+1}=p_n\cdot(1-q)$ donde $q$ es la probabilidad de que $10$ cabezas aparecen antes de que el primer lado de la cola. Por lo tanto, $q=h^{10}$ $p_n=(1-h^{10})^n$ donde $h$ es la probabilidad de obtener una ventaja, aquí $h=\frac12$.

La probabilidad de obtener $10$ cabezas en una fila antes de voltear un total de $20$ colas es $$ 1-(1-2^{-10})^{20}\approx20\cdot2^{-10}\approx2\%. $$ Refinación sólo un poco de esto, uno ve que la longitud de la pista más larga de los jefes antes de voltear un total de $n$ colas es del orden de $\log_2n$ al $n\to\infty$.