Representación vectorial de la función de onda en la mecánica cuántica?

Question

Soy nuevo en la mecánica cuántica, y me acaba de estudiar algunas partes de "mecánica ondulatoria" versión de la mecánica cuántica. Pero he oído que la función de onda puede representarse como un vector en el espacio de Hilbert. En mi ojo, esto casi parece improbable. ¿Cómo funciona esto? Cualquier persona puede presentar un ejemplo y cómo se convierte a formato vectorial?

Así que me estoy refiriendo a Dirac Bra-ket de la formulación de la mecánica cuántica.

Answer 1

La solución a la ecuación de Schrödinger $ \Psi $ se interpreta como la probabilidad de amplitud. En la mecánica cuántica el interior del producto se toma a menudo como una forma de obtener físicamente observables relaciones tales como la probabilidad de que una partícula en una posición determinada, cuando es medido. El producto interior está definido por el complejo de funciones con valores en un espacio de Hilbert complejo como $$ \int_0^x \Psi_1^*A\Psi_2dx $$ Donde $^*$ denota el complejo conjugado y $A$ a un operador que se aplica a $\Psi_2$. Tenga en cuenta que un espacio de Hilbert es sólo un espacio vectorial finito o infinito de dimensiones, con un producto interior definido en él. Ahora podemos usar bra-ket de notación para hacer todo mucho más ordenado. Un ket es simplemente una $N$ dimensiones del vector y sólo puede ser pensado como un vector columna. $$ \left|C\right\rangle = \left( \begin{array}{c} c_1\\ c_2\\ \vdots\\ c_n \end{array} \right)=C(x) = \sum_n c_n C_n(x) $$
Donde $C_n$ son los vectores de la base del espacio. El sujetador es la hermitian conjugado del ket que puede ser interpretado como $$ \left\langle C\right| = \left|C\right\rangle^{\daga}= \left( \begin{array}{cccc} c_1^*&c_2^* &\cdots &c_N^* \end{array} \right) =\sum_n c_n^* C_n(x) $$ Ahora, cuando combinamos la bra y el ket juntos podemos conseguir un soporte y un denota el producto interior en el espacio vectorial. Por lo tanto, podemos representar a nuestro ejemplo de arriba en una mucho más elegante de la moda usando los sujetadores y las tfe $$ \Psi_1^* = \left\langle \Psi_1 \right| $$ $$ \Psi_2 = \left|\Psi_2\right\rangle $$ y ahora nuestro producto interior puede ser definida como $$\left\langle \Psi_1 \middle| \Psi_2 \right\rangle = \int_0^x \Psi_1^*\Psi_2dx $$ Podemos agregar nuestro operador en como $$ \left\langle \Psi_1 \medio| A \medio| \Psi_2 \right\rangle =\left\langle \Psi_1 \medio| A\Psi_2 \right\rangle=\left\langle A^\daga\Psi_1 \medio| \Psi_2 \right\rangle= \int_0^x \Psi_1^*\Psi_2dx $$ Ahora, en este caso éramos sólo suponiendo una función de una sola dimensión y por lo tanto nuestro espacio vectorial sólo había una sola dimensión. Sin embargo, lo bueno es que bra-ket de notación generaliza a la mayor dimensión de espacios muy fácilmente. En espacios de dimensiones superiores a los operadores a ser de dimensión $N \times N $. Con el fin de preservar el producto interior de el espacio debe ser hermitian tal que $$ A^\dagger = A$$ El operador será de la forma $$ A^\daga = A = \left( \begin{array}{cccc} a_{00}&a_{01}&\cdots &a_{0N}\\ a_{10}&\ddots&\ddots&\vdots \\ \vdots&\ddots&\ddots&\vdots \\ \vdots&\ddots&\ddots&\vdots\\ a_{N0}&\cdots&\cdots&a_{NN} \end{array} \right) $$

Espero que esta dio algunas aclaraciones. Estoy por ningún experto, y si he cometido algunos errores críticos que me haga saber, siempre estoy aprendiendo.

Answer 2

Las ocasiones son, usted ya hemos visto en el pasado los estudios de matemáticas y nunca escuché es que se llama eso. En la siguiente, voy a tratar de dar un ejemplo para motivar a la respuesta de que no sólo es posible, pero bastante común, sin entrar en riguroso detalle.

Lo primero es darse cuenta de que el común real o complejo de funciones con valores en el mismo dominio de forma un espacio vectorial. Un espacio vectorial es simplemente una colección de objetos que se pueden combinar y ampliar el pensamiento de la multiplicación por números adecuados (un campo). La definición completa es un poco más complicado que eso, y se puede encontrar por ejemplo, aquí, pero es obvio que uno puede agregar estas funciones y multiplicar por escalares, y el otro a la definición de propiedades de "espacio vectorial" también se espera (por ejemplo, $\vec{0}$ es la función que se asigna a todo en el dominio de a $0$).

Sin embargo, lo que queremos no es sólo un espacio vectorial, pero también para tener un producto interior generalización de la función del producto escalar de vectores en $\mathbb{R}^n$. Hay infinitamente muchas opciones aquí, pero uno de los más útil en general es el de la $$\langle f|g\rangle = \int f^*(x)g(x)\text{,}$$ con la integral sobre todo el dominio y $^*$ que representan el complejo de la conjugación. Obviamente esta es una generalización de la distancia Euclídea producto escalar $$\vec{u}\cdot\vec{v} = \sum_k u_k v_k\text{,}$$ ajustado para manejar valores complejos de funciones para asegurar que el $\langle f|f\rangle\geq 0$, es decir, que los vectores no-negativo norma-cuadrado. Recordemos que en el espacio Euclidiano, para un vector unitario $\hat{u}$, el producto escalar de a $\hat{u}\cdot\vec{v}$ es el componente de $\vec{v}$ a lo largo de $\hat{u}$, por lo que la proyección de $\vec{v}$ a $\hat{u}$ debe $\hat{u}(\hat{u}\cdot\vec{v})$. Así, por un arbitrario vectores, no necesariamente normalizado, $$\text{Projection of $\vec{v}$ onto $\vec{u}$} = \vec{u}\frac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{\vec{u}\cdot\vec{u}}\text{,}$$ así que, partiendo de una base ortogonal $\{\vec{e}_k\}$, podemos escribir cualquier vector en términos de los componentes en base a: $$\vec{v} = \sum \vec{e}_k\frac{\vec{e}_k\cdot\vec{v}}{\vec{e}_k\cdot\vec{e}_k}\text{.}$$

Ok, pero ¿funciones? ¿Tiene sentido? Podemos escribir algo como: $$f(x) = \sum g_k(x)\frac{\langle g_k|f\rangle}{\langle g_k|g_k\rangle}$$ para una "base" de $\{g_k(x)\}$ utilizando la integral interior del producto a reemplazar el producto escalar?

Como un ejemplo simple, supongamos que estamos tratando con funciones reales, en $[-\pi,\pi]$, y yo se definen las funciones $$c_n(x) = \cos(nx),\;\;\;n\geq 0\\ s_n(x) = \sin(nx),\;\;\;n > 0$$ Estos vectores son ortogonales: para $n\neq m,$ $$\int_{-\pi}^\pi c_n c_m\,\mathrm{d}x = \int_{-\pi}^\pi s_n s_m \,\mathrm{d}x = \int_{-\pi}^\pi c_n s_m \,\mathrm{d}x = 0 = \int_{-\pi}^\pi c_n s_n\,\mathrm{d}x\text{.}$$ Aunque no es inmediatamente obvio, que también forman una base: dado $f:[-\pi,\pi]\rightarrow\mathbb{R}$, uno puede escribir $$f(x) = \sum_{k = 0}^\infty c_n(x)\frac{\langle c_n|f\rangle}{\langle c_n|c_n\rangle} + \sum_{k=1}^\infty s_n(x)\frac{\langle s_n|f\rangle}{\langle s_n|s_n\rangle}$$ Y todo lo que he hecho está escrito el estándar de la serie de Fourier en el vector de notación, ya que si no integrales, a continuación,$\langle c_0|c_0\rangle = 2\pi$$\langle c_n|c_n\rangle = \langle s_n|s_n\rangle = \pi$$n>0$, mientras que los numeradores vez en la costumbre, los coeficientes de Fourier.

En otras palabras, la serie de Fourier escribe una función sobre un intervalo finito de términos de una determinada countably infinito base ortogonal $\{1,\cos(nx),\sin(nx): n>0\}$. Del mismo modo, una transformada de Fourier puede ser pensado como escribir una función en términos de un uncountably infinito base ortogonal, por lo que las sumas son reemplazados con integrales.

Sin embargo, esto significa que tanto $f(x)$ y la lista de los coeficientes de Fourier de dar su información de la misma: son simplemente diferentes representaciones del mismo objeto matemático, el vector. Por lo tanto, como nervxxx notas, podemos considerar $f(x)$ a ser simplemente algunos vector escrito en la posición de base (una uncountably infinito) y no consideran la función que el objeto fundamental.

(N. B. no hay nada particularmente especial sobre la base de Fourier; muchas otras opciones son posibles. También, Hilbert espacios requieren de un poco más que la mera existencia de un producto interior, pero que resulta sostener aquí.)