$n = 2^p - 1$ Demuestra que si n es primo entonces p también debe ser primo.

Question

Mi primer pensamiento fue intentar una contradicción; Así que dado que n es primo supongamos que p no es primo es decir $p = p_{1}^{\alpha1} .... p_{r}^{\alpha r}$ . Pero yo no sabía a dónde ir desde allí.

Answer 1

Si $p = a\cdot b $ donde $a \neq 1, b \neq 1$ entonces $n = 2^{ab} - 1 = (2^a)^b - 1 = (2^a-1)(2^{a(b-1)} + ...+ 1)$ es claramente compuesto.

Answer 2

Supongamos que $p$ no es primo, y sea $k$ sea $p$ es el divisor primo más pequeño.

Tenemos $2^k-1|2^p-1$ y $2^k-1 > 1$ Así que $2^p-1$ no puede ser un primo como se desea.

Answer 3

Si $1<x\le y$ entonces $2^x-1$ divide $2^{xy}-1$ . Además $1<2^x-1<2^{xy-1}$ lo que es suficiente para concluir.