Estoy estudiando topología por mi cuenta y estoy un poco atascado en la diferencia entre conjuntos densos y cerrados. Intuitivamente, un conjunto denso es un conjunto donde todos los elementos están cerca entre sí y un conjunto cerrado es un conjunto que tiene todos sus puntos de frontera.
Pero para hacer esto más concreto, ¿alguien podría darme un ejemplo de un conjunto cerrado que no sea denso y un conjunto denso que no sea cerrado?
¡Gracias!
$[0,1]$ es un subconjunto cerrado de $\mathbb R$ que no es denso. Contiene todos sus puntos límite, por lo que es cerrado. Algunos puntos en $\mathbb R$, por ejemplo $2$, no son puntos límite de este conjunto, por lo que el conjunto no es denso.
$\mathbb Q$ es un subconjunto denso de $\mathbb R$ que no es cerrado. No es cerrado porque no contiene todos sus puntos límite. Por ejemplo, $\sqrt 2$ es un punto límite de este conjunto porque cada vecindario abierto de $\sqrt 2$ contiene algunos números racionales. Es denso porque cada punto en $\mathbb R$ es uno de sus puntos límite.
¿Sería la prueba de eso así? Sea T un subconjunto denso y cerrado de S, entonces para cada x en S hay puntos en T arbitrariamente cercanos a x (por definición de denso) y dado que T contiene puntos arbitrariamente cerca de x, entonces x debe estar en T (por definición de cerrado). Por lo tanto, cualquier x en S también es un elemento de T.
@kasperd 'cercanía' no es un concepto muy bien definido para espacios topológicos arbitrarios. Supongamos que $X$ es un espacio topológico y $T$ es un subconjunto denso y cerrado de $X$. Sea $U$ el complemento de $T$, que es abierto por definición. Según la definición de denso, $T$ y $U$ tienen una intersección no vacía si y solo si $U$ está vacío, pero $T$ y $U$ son disjuntos y por lo tanto $U$ debe ser el conjunto vacío.
Un conjunto es denso/cerrado en un espacio topológico dado.
$[0,1]$ está cerrado en $\mathbb{R}$ pero no es denso en $\mathbb{R}$ ya que hay números reales que no pueden aproximarse arbitrariamente cerca por elementos de $[0,1]$.
$[0,1]\setminus\{\frac{1}{2}\}$ es denso en $[0,1]$ pero no está cerrado en él.
Llevamos $\mathbb R$ con la topología usual. Entonces el conjunto de enteros es cerrado (cualquier serie convergente de enteros converge a un entero), pero no es denso (no te acercas en absoluto a $1/2$). Por otro lado, el conjunto de números racionales es denso, pero no es cerrado (el límite de una secuencia de números racionales puede ser irracional).
En mi humilde opinión, una buena intuición para un conjunto cerrado es que al permanecer en el conjunto, no puedes acercarte arbitrariamente a ningún punto fuera de ese conjunto. Lo cual es en realidad lo opuesto a un conjunto denso que se acerca a cada punto del espacio.
Con esa intuición también es inmediatamente claro por qué el único conjunto denso cerrado es el propio espacio: La única forma de acercarse a cada punto sin acercarse a ningún punto fuera del conjunto es si no hay puntos fuera del conjunto.
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¿Puedes dar un ejemplo de un conjunto cerrado (en un espacio topológico $X$) que sea denso? Pista: solo hay uno.
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Creo que el punto importante de tu malentendido es tu intuición... "De manera intuitiva, un conjunto denso es un conjunto donde todos los elementos están cerca unos de otros" - Esto no es cierto. De manera intuitiva, un conjunto denso A en un espacio dado X es un conjunto donde todos los elementos de X están cerca de los elementos de A
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Cuando un conjunto es denso en un espacio, suelo escucharlo descrito como 'A es denso en X'; Creo que eso enfatiza bien el punto en el comentario anterior.