Nunca me he encontrado con esta pregunta en ninguna de mis clases de matemáticas y sólo aparece al azar en mi clase de ciencias de la computación sin más información al respecto. Lo he buscado en wiki, pero ni siquiera puedo entenderlo. ¿Podría alguien explicarme qué es exactamente?
Gracias. Supongo que otras respuestas son "mejores", pero dije que no podía entender la página de la wiki sobre el término. Gracias por entenderlo.
Sólo para añadir, cualquier número entero es coprimo de 1. proofwiki.org/wiki/Integer_is_Coprime_to_1
Un número $a$ no es "un coprimo", sino que la "coprimidad" es una relación que puede darse o no entre dos números $a$ y $b$ . En otras palabras, $a$ y $b$ puede ser o no "coprima entre sí".
¿Qué significa para $a$ y $b$ para ser coprima? Que no compartan ningún factor común más que $1$ , o de forma equivalente, $\gcd(a,b)=1$ (donde $\gcd$ denota el máximo común divisor , ver aquí ).
Por ejemplo, $2$ y $5$ son coprimos, porque si $d$ es un factor de $2$ y $d$ también es un factor de $5$ (es decir, $d$ es un factor común de $2$ y $5$ ), entonces $d$ tiene que ser $1$ (o $-1$ , técnicamente). En otras palabras, $\gcd(2,5)=1$ .
Sin embargo, $2$ y $6$ no son coprimas, porque comparten el factor común $2$ y $\gcd(2,6)=2$ .
Como dice Qiaochu, podemos extender la definición de coprimidad a cualquier colección de dos o más números declarando el conjunto de números $\{a_1,a_2,\ldots\}$ sea coprima cuando cualquier $a_i$ y $a_j$ son coprimos (para $i\neq j$ ).
Para más información, consulte la página de Wikipedia .
Pero creo que el coprimo generaliza el primo relativo, es decir $gcd (a,b)=1$ , a $gcd (a,b,c,d,..)=1$ (colección finita, por supuesto)
@gary: Creo que trataría "coprimo" y "relativamente primo" como sinónimos. Quizá diría "par" antes de cualquiera de los dos términos si quisiera ser preciso, pero no creo que sea necesario.
Por definición, un par de enteros $\rm\:a,b\:$ son coprime si sólo tienen factores comunes triviales, es decir $\rm\:gcd(a,b) = 1\:,\:$ es decir $\rm\:c\ |\ a,b\ \Rightarrow\ c\:|\:1\:.\:$ Un conjunto de enteros es coprimo por pares si cada par del conjunto es coprimo. La misma definición funciona en cualquier dominio integral.
Los conjuntos coprimos de enteros comparten muchas de las propiedades de los conjuntos primos, por ejemplo, las factorizaciones en coprimos son único . De hecho, en muchos problemas de teoría de números es suficiente (y más eficiente) trabajar con coprimas en lugar de con primos, por ejemplo, véase la sección $4.8$ sobre el concepto de base libre de gcd en Bach y Shallit: Teoría algorítmica de los números .
Nota: Para los ideales, algunos autores utilizan coprime como sinónimo de comaximal es decir $\rm\:I + J = 1\:.\:$
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"Coprime" es una condición en una colección de números (normalmente un par), no un número; significa que no tienen factores comunes.
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Cabe mencionar la distinción entre "coprimo" y "relativamente primo": Un conjunto de números enteros es relativamente primo si ningún número entero > 1 divide a todos ellos, por ejemplo (3, -7, 1). Un conjunto de números enteros es "coprimo" si ningún número entero > 1 divide a ningún par de ellos. Así que para dos enteros las dos definiciones coinciden, pero para más de dos la propiedad de "coprimidad" es más fuerte, porque por ejemplo un conjunto de tres enteros puede ser relativamente primo pero no coprimo, por ejemplo (6, 15, -5)