¿Por qué el cero es múltiplo de todos los enteros, pero no es un divisor de cero?

Question

Todos los números positivos y negativos, incluyendo el cero se llaman enteros. Así, en la forma $a=bq$, ya que el $0 = 0ㆍq$ es cierto para cualquier entero $q$, $0$ puede tener $0$ como un divisor de sí mismo, así como un múltiplo de sí mismo mediante la definición expresada por $a=bq$.

Pero, ¿por qué se dice que "no Podemos dividir por $0$"? Se entiende como "$0$ no puede ser un divisor" para mí.

"Definición: Un entero que una se llama múltiplo de un número entero $b$ si $a=bq$ para algunos entero $q$. En este caso también se dice que b es un divisor de a $a$, y usamos la notación $b | a$ . . . Por otro lado, para cualquier entero$a$, $0 = aㆍ0$ e lo $0$ es un múltiplo de cualquier número entero."

Fuente: Álgebra Abstracta: Tercera Edición, Juan A. Beachy, William D. Blair, p.4.

"La regla de la División por $0$ es indefinido. Cualquier expresión con un divisor de a $0$ es indefinido. No podemos dividir por $0$"

Fuente: Prealgebra: Un Texto/Libro, Charles McKeague, p.61.

"Observar que la división por el número entero $0$ no está definido, ya que para $n≠0$ no hay ningún número entero $x$ tal que $0ㆍx=n$ y ya para $n =0$ cada entero $x$ satisface $0ㆍx=0$"

Fuente: Introducción a las Pruebas Matemáticas, Segunda Edición, Charles Roberts, p.99.

Answer 1

Cada entero divide a cero, incluyendo el cero en sí misma; sin embargo, el único entero que cero se divide a sí mismo. Es decir, $b \mid 0$ para todos los enteros $b$; pero si $a$ es un número entero y $0 \mid a$,$a = 0$.

Cuando se dice que "no se puede dividir por cero", lo que quiere decir es que, dado un entero $a$, no hay un único cociente en la división por cero.

Específicamente, dado enteros $a$$b$, $b \ne 0$ si $b \mid a$, entonces existe un único entero $q$ tal que $a = qb$, es decir,$q=\frac{a}{b}$. Sin embargo, si permitimos que el caso al $b=0$, entonces perdemos la singularidad. De hecho, como ya se ha mencionado, $0 = q \cdot 0$ para todos los enteros $q$, por lo que no tiene sentido asignar un valor a la expresión de $\frac{0}{0}$. Y si $a \ne 0$, entonces no hay ningún número entero $q$ tal que $a = q \cdot 0$, por lo que no tiene ningún sentido para asignar un valor a la expresión de $\frac{a}{0}$.