relación entre números complejos

Question

Considere lo siguiente:

1. Dos triángulos equiláteros inscrito en un círculo.
2. Los vértices de la gran triángulo son las imágenes geométricas de las tres raíces cúbicas de $z$ (un número complejo).
3. El pequeño triángulo de vértices son los puntos medios de los lados de un triángulo más grande.
4. Los vértices del triángulo pequeño son las imágenes geométricas de las tres raíces cúbicas de $w$ (otro número complejo).

¿Cuál es la relación entre el$w$$z$?

Answer 1

Vamos $a^3=z$, $b^3=w$, y $r^3=1$ donde $r = \exp\frac{2i\pi}{3}$ es la primitiva de la raíz cúbica de la unidad.

A continuación, los vértices del triángulo exterior se $a, ar, ar^2$, los de el triángulo interior se $b, br, br^2$, y, wlog, $b=\frac{a+ar}{2}$.

Ahora, $$w=b^3=a^3(\frac{1+r}{2})^3=z\frac{1+3r+3r^2+r^3}{8}=-\frac{z}{8}$$

debido a $r^3=1$$1+r+r^2=\frac{1-r^3}{1-r}=0$.