Los observables no conmutan si no pueden ser diagonalizados simultáneamente, es decir, si no comparten una base de vectores propios. Si se considera esta condición de forma correcta, el principio de incertidumbre resultante se vuelve muy intuitivo.
Como ejemplo, consideremos el espacio de Hilbert bidimensional que describe la polarización de un fotón que se mueve a lo largo de la $z$ eje. Su polarización es un vector en el $xy$ avión.
Dejemos que $A$ sea el operador que determina si un fotón está polarizado a lo largo del $x$ eje o el $y$ asignando un valor de 0 a la primera opción y de 1 a la segunda. Se puede medir $A$ utilizando un simple filtro polarizador, y sus elementos matriciales son $$A = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}.$$
Ahora dejemos que $B$ sea el operador que determina si un fotón es $+$ polarizado (es decir, polarizado suroeste/noreste) o $-$ polarizado (polarizado sureste/noroeste), asignándoles los valores 0 y 1, respectivamente. A continuación, $$B = \begin{pmatrix} 1/2 & -1/2 \\ -1/2 & 1/2 \end{pmatrix}.$$
Los operadores $A$ y $B$ no conmutan, por lo que no pueden ser diagonalizados simultáneamente y, por tanto, obedecen a un principio de incertidumbre. Y puedes ver inmediatamente por qué desde la geometría: $A$ y $B$ están eligiendo diferentes conjuntos de direcciones. Si tuvieras un valor definido de $A$ , tienes que ser $x$ o $y$ polarizado. Si tuviera un valor definido de $B$ , tendrías que ser $+$ o $-$ polarizado. Es imposible ser ambas cosas a la vez.
O, si se replantean las cosas en términos de direcciones de la brújula, las preguntas "¿vas al norte o al este?" y "¿vas al noreste o al sureste?" no tienen respuestas bien definidas simultáneamente. Esto no significa que las brújulas sean incorrectas, o incompletas, o que la observación de una brújula "interfiera en la orientación". Simplemente diferentes direcciones .
La posición y el impulso son exactamente iguales. Un estado propio de posición está fuertemente localizado, mientras que un estado propio de momento tiene una extensión espacial infinita. Pensando en el espacio de Hilbert como un espacio vectorial, simplemente están escogiendo diferentes direcciones; ningún vector es un eigenvector de ambos a la vez.