Prueba $ \int\Re (f(x))\, \mathrm {d}x= \Re ( \int f(x)\, \mathrm {d}x)$

Question

Tengo una función $f: \mathbb {R} \to\mathbb {C}$ . ¿Cómo puedo probar/argumentar que $$ \int\Re (f(x))\, \mathrm {d}x= \Re\left ( \int f(x)\, \mathrm {d}x \right )$$ (y lo mismo para la parte imaginaria)? Me temo que no tengo ni idea de cómo empezar

La razón por la que pregunto es que necesito probar $ \widehat { \overline {f}}(n)= \overline { \widehat {f}(-n)}$ y estoy llegando a un punto en el que necesito el paso de $ \frac {1}{2 \pi } \int_ {- \pi }^ \pi\overline {f(x)e^{inx}}\, \mathrm {d}x$ a $ \frac {1}{2 \pi } \overline { \int_ {- \pi }^ \pi f(x)e^{inx}\, \mathrm {d}x}$ .

Answer 1

Escriba $f(x)=u(x)+iv(x)\,,$ $u(x)$ y $v(x)$ son reales, y $e^{inx}= \cos (nx)+i \sin (nx)$ y luego expresarlo en términos de partes reales e imaginarias. Evalúa cada integral y luego compara los resultados.

Answer 2

Finalmente me di cuenta de que no es necesario tirar $ \Re $ y $ \Im $ de la integral: Sólo quiero probar que $ \int \overline {f(x)}\, \mathrm {d}x= \overline { \int f(x)\, \mathrm {d}x}$ para alguna función compleja $f$ así que sólo tengo que sacar la conjugación compleja. Creo que esto podría hacerse así:

$$ \int \overline {f(x)}\, \mathrm {d}x= \int \overline { \Re (f(x))+i \Im (f(x))}\, \mathrm {d}x= \\ \int \Re (f(x))-i \Im (f(x))\, \mathrm {d}x= \int \Re (f(x))\, \mathrm {d}x- \int i \Im (f(x))\, \mathrm {d}x= \\ \overline { \int \Re (f(x))\, \mathrm {d}x+i \int \Im (f(x))\, \mathrm {d}x}= \overline { \int \Re (f(x))+i \Im (f(x))\, \mathrm {d}x}= \\ \overline { \int f(x)\, \mathrm {d}x} $$

Como esto es válido para todas las funciones complejas (por favor, comente si me equivoco), también es válido para $f(x)e^{inx}$ .

¡Gracias a todos los que me ayudaron a ir en la dirección correcta! :-)

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Ahora que la pregunta es algo engañosa, ¿debo borrarla o editar la pregunta/título?