Encontrar todas las soluciones a $|x^2-2|x||=1$

Question

En primer lugar, tenemos que $$\left\{ \begin{array}{rcr} |x| & = & x, \ \text{if} \ x\geq 0 \\ |x| & = & -x, \ \text{if} \ x<0 \\ \end{array} \right.$$

Así, esto significa que $$\left\{ \begin{array}{rcr} |x^2-2x| & = & 1, \ \text{if} \ x\geq 0 \\ |x^2+2x| & = & 1, \ \text{if} \ x<0 \\ \end{array} \right.$$

Para la primera ecuación, tenemos

$$|x^2-2x|\Rightarrow\left\{\begin{array}{rcr} x^2-2x & = & 1, \ \text{if} \ x^2\geq 2x \\ x^2-2x & = & -1, \ \text{if} \ x^2<2x \\ \end{array} \right.$$

y para la segunda ecuación, tenemos

$$|x^2+2x|\Rightarrow\left\{\begin{array}{rcr} x^2+2x & = & 1, \ \text{if} \ x^2+2x\geq 0 \\ x^2+2x & = & -1, \ \text{if} \ x^2+2x<0 \\ \end{array} \right.$$

La solución para todas estas ecuaciones, obtenemos

$$\left\{\begin{array}{rcr} x^2-2x & = 1 \Rightarrow& x_1=1+\sqrt{2} \ \ \text{and} \ \ x_2=1-\sqrt{2}\\ x^2-2x & =-1 \Rightarrow& x_3=1 \ \ \text{and} \ \ x_4=1\\ x^2+2x & = 1 \Rightarrow& x_5=-1-\sqrt{2} \ \ \text{and} \ \ x_6=-1+\sqrt{2}\\ x^2+2x & =-1 \Rightarrow& x_7=-1 \ \ \text{and} \ \ x_8=-1 \end{array} \right.$$

Así que tenemos las raíces $$\begin{array}{lcl} x_1 = & 1+\sqrt{2} \\ x_2 = & 1-\sqrt{2} \\ x_3 = & -1+\sqrt{2} \\ x_4 = & -1-\sqrt{2} \\ x_5 = & 1 \\ x_6 = & -1 \end{array}$$

Pero según el libro, la respuesta es

\begin{array}{lcl} x_1 & = & 1+\sqrt{2} \\ x_4 & = & -1-\sqrt{2} \\ x_5 & = & 1 \\ x_6 & = & -1 \end{array}

Lo que sucedió a$x_2$$x_3$? Cualquier otra manera de resolver esta ecuación más rápido?

Answer 1

\begin{align*} |x^2-2|x||&=1\\ x^2-2|x|&=1\quad\text{or}\quad -1\\ |x|^2-2|x|-1&=0\quad\text{or}\quad |x|^2-2|x|+1=0\\ |x|&=1+\sqrt{2} \quad\text{or}\quad 1\qquad(|x|=1-\sqrt{2}<0\text{ is rejected})\\ x&=\pm(1+\sqrt{2}) \quad\text{or}\quad \pm1 \end{align*}

Answer 2

$x^{2}-2x = 1 $ si $x^{2}\geq 2x$ $x\geq 0$ (debido a$\left |x^{2}-2x \right | = 1 $ si $x\geq 0$)

pero $1-\sqrt{2} \leq 0$

$x_{3} =-1+\sqrt{2}$ no es correcta la solución debido a la misma razón en la segunda ecuación

Answer 3

Como G. H. lee ya se señaló, se hizo del estudio de antecentes $x\geq 0$ $x<0$ a simplificar la expresión, pero que ignoraban por completo más adelante. Una forma correcta sería algo como esto:

$$|x^2-2|x||=1\implica \begin{cases}|x^2-2x| = 1,& x\geq 0\\ |x^2+2x| = 1,& x < 0 \end{casos} \implica \begin{cases} x^2-2x = 1,& x\geq 0,\ x^2-2x\geq 0\\ x^2-2x = -1,& x\geq 0,\ x^2-2x<0\\ x^2+2x = 1,& x < 0,\ x^2+2x\geq 0\\ x^2+2x = -1,& x < 0,\ x^2+2x<0\end{casos}$$

después de que usted resolver la manera en que lo hizo, pero eliminar el exceso de soluciones.

Una forma de simplificar esto es un aviso de que la función $f(x) = |x^2-2|x||-1$ es par, es decir,$f(-x) = f(x)$, lo que significa que $x_0$ es la raíz de $f$ si y sólo si $-x_0$ es la raíz de $f$. Por lo tanto, podemos asumir que $x\geq 0$ mientras que la solución de la ecuación, y podemos agregar "$\pm$" más adelante para obtener todas las soluciones.

Nuestra ecuación ahora se simplifica a $|x^2 -2x| = 1$, es decir, $x^2-2x = \pm 1$ o $(x-1)^2 = 1\pm 1$. Esto nos da soluciones $x = 1$$x = 1\pm \sqrt 2$, y después de quitar el negativo $1-\sqrt 2$, obtenemos $x =1$$x = 1+\sqrt 2$. Para obtener todas las soluciones, sólo tiene que añadir "$\pm$".

Personalmente, me gusta dibujar los gráficos. De nuevo, se puede observar que $|x^2-2|x||$ es par, entonces podemos asumir que $x\geq 0$ y reflejar la gráfica con respecto a $y$-eje posterior.

La gráfica de $|x^2-2x|$ ( $x\geq 0$ ), se puede graficar una parábola $x^2-2x$ primero y luego reflejar cualquier cosa por debajo de $x$-eje. Después, reflexionar con respecto a $y$-eje para obtener $|x^2-2|x||$:

Answer 4

La forma más general es crecer un árbol y, a continuación, para cada hoja del árbol a la mesa. Si más de un par de capas de $|.|$ probablemente estará empezando a confundir a sí mismo si no se adhieren a un enfoque sistemático.

Cada rama en el árbol de reducir el conjunto de la variable es válida. Necesitamos almacenar un par de $(expression,set)$ en cada nodo y en las hojas del árbol, vamos a tener una expresión con el no $|.|$ a la izquierda, justo un polinomio y un conjunto. Que es cuando podemos hacer una tabla de dividir el número real de la línea.

1. La primera rama de árbol, es debido a $|x|$: $x\in[0,\infty]$ a la izquierda $x\in[-\infty,0]$ a la derecha.
2. la izquierda no $|x|\to x$, la derecha no $|x|\to -x$
3. Ahora la tienda de pares de conjuntos y expresiones $|x^2-2x|$, $|x^2+2x|$ derecho
4. En nuestros nuevos nodos necesitamos factor de polinomios para encontrar la manera de dividir el árbol en subconjuntos > y <0. Pero esperemos que el systemacy de la aproximación es suficientemente claro por ahora.