¿Cuál es la suma de esto? $ 1 + \frac12 + \frac13 + \frac14 + \frac16 + \frac18 + \frac19 + \frac1{12} +\cdots$

Question

Estoy en problemas con esta tarea.

Encontrar la suma de la serie $ 1 + \frac12 + \frac13 + \frac14 + \frac16 + \frac18 + \frac19 + \frac1{12} +\cdots$, donde los términos son los inversos de los números enteros positivos cuya única factores primos son 2 y 3.

Sugerencia: escribir la serie como un producto de dos series geométricas.

Ok, he encontrado algunos patrones en estos números, pero no puedo encontrar las dos series.

Answer 1

Sugerencia: $$ = \left( 1+\frac{1}2 + \frac{1}4 + \cdots \right) \left( 1+ \frac{1}3 + \frac{1}9 + \cdots \right)$$.

Answer 2

$$\left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\cdots \right)\left(1+\frac{1}{3}+\frac{1}{9}+\cdots \right)=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{6}+\cdots$$

tanto de la primera serie son geométricas y pueden ser resumidos de la $$1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\cdots =2$$ $$1+\frac{1}{3}+\frac{1}{9}+\cdots =\frac{3}{2}$$ lo $$1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{6}+\cdots=3$$