Resolver integrales trigonométricas $\int_{-\pi/2}^{\pi/2} \frac{\sin^{2014}x}{\sin^{2014}x+\cos^{2014}x} dx $

Question

Por favor me ayude a resolver la siguiente integral: $$\int_{-\pi/2}^{\pi/2} \frac{\sin^{2014}x}{\sin^{2014}x+\cos^{2014}x} dx$$ He probado un montón, pero no hay resultados. Yo sólo transformó esta integral para el siguiente también no es fácil integral: $$\int \frac{1}{(1+t^2)(1+t^{2014})} dt.$$

Answer 1

Considere la integral \begin{align} I = \int_{-\pi/2}^{\pi/2} \frac{\sin^{2a}x}{\sin^{2a}x + \cos^{2a}x} \, dx. \end{align} Esto también puede ser visto como \begin{align} I &= \int_{0}^{\pi/2} \frac{\sin^{2a}x}{\sin^{2a}x + \cos^{2a}x} \, dx + \int_{-\pi/2}^{0} \frac{\sin^{2a}x}{\sin^{2a}x + \cos^{2a}x} \, dx \\ &= \int_{0}^{\pi/2} \frac{\sin^{2a}x}{\sin^{2a}x + \cos^{2a}x} \, dx - \int_{\pi/2}^{0} \frac{\sin^{2a}x}{\sin^{2a}x + \cos^{2a}x} \, dx \\ &= 2 \, \int_{0}^{\pi/2} \frac{\sin^{2a}x}{\sin^{2a}x + \cos^{2a}x} \, dx \end{align} donde $x \to -x$ fue realizado en la segunda integral. Ahora hacer la sustitución $x = t-\pi/2$ obtener \begin{align} I = 2 \, \int_{-\pi/2}^{0} \frac{\cos^{2a}t}{\sin^{2a}t + \cos^{2a}t} \, dt. \end{align} Ahora vamos a $t \to -x$ obtener \begin{align} I = 2 \, \int_{0}^{\pi/2} \frac{\cos^{2a}x}{\sin^{2a}x + \cos^{2a}x} \, dx. \end{align} La adición de las dos integrales expresiones conduce a \begin{align} 2 I &= 2 \, \int_{0}^{\pi/2} \frac{\sin^{2a}x + \cos^{2a}x}{\sin^{2a}x + \cos^{2a}x} \, dx = 2 \, \int_{0}^{\pi/2} dx = \pi. \end{align} Se puede afirmar que \begin{align} \int_{-\pi/2}^{\pi/2} \frac{\sin^{2a}x}{\sin^{2a}x + \cos^{2a}x} \, dx = \frac{\pi}{2}. \end{align}

Answer 2

Observe las siguientes propiedades de los límites, $$\color{blue}{\int_{-a}^{a}f(x)dx =2\int_{0}^{a}f(x)dx\quad \text{if} \quad f(-x)=f(x)}$$ $$\color{blue}{\int_{0}^{a}f(x)dx =\int_{0}^{a}f(a-x)dx}$$

Ahora, vamos a $$I=\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\frac{\sin^{2014}x}{\sin^{2014}x+\cos^{2014}x}dx$$ $$\implies I=2\int_{0}^{\pi/2}\frac{\sin^{2014}x}{\sin^{2014}x+\cos^{2014}x}dx\tag 1$$ El uso de secong propiedad, obtenemos $$I=2\int_{0}^{\pi/2}\frac{\sin^{2014}\left(\frac{\pi}{2}-x\right)}{\sin^{2014}\left(\frac{\pi}{2}-x\right)+\cos^{2014}\left(\frac{\pi}{2}-x\right)}dx$$

$$\implies I=2\int_{0}^{\pi/2}\frac{\cos^{2014}x}{\sin^{2014}x+\cos^{2014}x}dx\tag 2$$ Ahora, la adición de eq(1) y (2), obtenemos $$2I=2\int_{0}^{\pi/2}\left(\frac{\sin^{2014}x}{\sin^{2014}x+\cos^{2014}x}+\frac{\cos^{2014}x}{\sin^{2014}x+\cos^{2014}x}\right)dx$$ $$\implies I=\int_{0}^{\pi/2}\left(\frac{\sin^{2014}x+\cos^{2014}x}{\sin^{2014}x+\cos^{2014}x}\right)dx$$ $$=\int_{0}^{\pi/2}1. dx=[x]_{0}^{\pi/2}=\left[\frac{\pi}{2}-0\right]=\color{blue}{\frac{\pi}{2}}$$

Answer 3

Otro punto de vista, sólo para señalar lo que está pasando con la integral:

Considere la integral escrita en la forma:

$$I(2k) = \int^{\pi/2}_{-\pi/2} \frac{1}{1+\cot^{2k}{x}} \, \mathrm{d} x, $$ and look at what happens with the integrand as $k$ goes to $\infty$ (in your case, $k = 512$):

donde me han oscilado $k$$2$$20$. Se puede inferir un comportamiento asintótico de $I(2k)$$k \to \infty$?

Saludos!

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Edit: yo estaba fascinado por el hecho señalado por @enzotib. De hecho, esto puede sugerir que $\partial I/\partial k = 0$. Vamos a calcular la derivada de el integrando w.r.t. $k$:

$$ \frac{\partial}{\partial k} \frac{1}{1+\cot^{2k}{x}} = -\frac{2 \cot ^{2 k}(x) \log (\cot (x))}{\left(\cot ^{2 k}(x)+1\right)^2} =:f.$$ We observe that $f$ is only defined for $x > 0$ and, as a matter of fact, it's an odd function with respect the line $x = \pi/4$ for all $k$. Therefore, $F= \int^{\pi/2}_{-\pi/2} f \, \mathrm{d} x= 0$ for every $k$, meaning that $I$ does not depend on $k$. Since $F = \parcial I / \partial k$, on integrating $F$ with respect to $k$, we can see that $I = c$, for some constant $c$. To determine the value of $c$, we plug any value of $k$ in $I$ to have that $I = I(0) = \int^{\pi/2}_{-\pi/2} \mathrm{d}x /2 = \pi/2$.

Answer 4

Para $$ \int_a^{\pm(\pi/2-a)} \frac{\sin^{2a}x}{\sin^{2a}x + \cos^{2a}x} \, dx$$

Voy a utilizar $$I=\int_p^q f(x)\ dx=\int_p^q f(p+q-x)\ dx$$

$$\implies I+I=\int_p^q [f(x)+ f(p+q-x)]\ dx$$