¿Por qué los enteros son subconjunto de los reales?

Question

En la mayoría de los lenguajes de programación, los tipos enteros y reales (o flotantes, racionales, lo que sea) suelen ser disjuntos; 2 no es lo mismo que 2,0 (aunque la mayoría de los lenguajes hacen una conversión automática cuando es necesario). Además de por razones técnicas, esta separación tiene sentido: se utilizan para fines muy diferentes.

¿Por qué eligieron decir $\mathbb{Z} \subset \mathbb{R}$ ¿en matemáticas? En otras palabras, ¿por qué 2 y 2,0 se consideran lo mismo?

Cuando se trabaja en $\mathbb{R}$ ¿hay alguna diferencia si algunos elementos, por ejemplo 2.0, también pertenecen a $\mathbb{Z}$ ¿o no?

Answer 1

Si quieres hacer las cosas muy formalmente, los enteros son de hecho no un subconjunto de los reales: son construcciones totalmente diferentes (que supongo que es más o menos lo que dices en tu pregunta). Sin embargo, los reales contienen el conjunto $$\{\,\ldots,\,-2.0,\,-1.0,\,0.0,\,1.0,\,\ldots\,\}$$ que "se parece" a los enteros. La terminología habitual es que los conjuntos son isomorfos. Si se toma cualquier afirmación verdadera de la aritmética de los números enteros y se sustituye cada número entero por el número real correspondiente, el resultado será una afirmación verdadera sobre los números reales. Por ejemplo, la afirmación $$2+3=5$$ corresponde a $$2.0+3.0=5.0\ .$$

Answer 2

Desde el punto de vista formal, esto depende del contexto.

A veces es bueno tener todo como un subconjunto. Es fácil tener que un entero es un número real, ya que nos permite hablar de la topología del subespacio, y que las operaciones coincidan con lo que esperamos que sean.

A veces no es tan bonito, en cuyo caso preferimos hablar de "incrustación", es decir, hay una incrustación (que es única hasta algunas propiedades conservadas) que identifica un subconjunto de los números reales con los enteros.

Si quieres construir las cosas desde cero, entonces tienes razón. Construyes los números naturales, luego construyes los enteros y luego los racionales y finalmente los números reales (y puedes continuar). Cada paso viene con alguna incrustación canónica, que luego podemos extender y tener una forma canónica de identificar los números naturales con un subconjunto de los números reales, y así sucesivamente.

Pero a veces es más agradable decir "Vale, ahora que tenemos $\Bbb R$ y todos aquellos subconjuntos canónicos que se comportan como $\Bbb{N,Z,Q}$ y así sucesivamente, vamos a redefinirlos como estos subconjuntos". ahora podemos hablar de subespacios directamente y de subarreglos y subcampos y así sucesivamente.

Del mismo modo, es posible que desee tener $\Bbb R$ como un subconjunto de $\Bbb C$ y a veces como un subespacio (y por tanto un subconjunto) de $\Bbb R^3$ ; y a veces querrá tener estos objetos separados como "tipos diferentes", y llevar la cuenta de las incrustaciones.

Si quiere centrarse en el ejemplo de $2$ , entonces observa que $\Bbb Z$ y $\Bbb Q$ y $\Bbb R$ son todos los anillos (sea lo que sea que eso signifique) que tiene una unidad, y $1$ es esa unidad, por lo que cada uno tiene una versión de $1$ y $2$ se define como una abreviatura de $1+1$ . ¿Importa dónde se hace esta adición? No, no importa, ya que el término $1+1$ es sintáctico en el lenguaje de los anillos, y tendrá propiedades similares en $\Bbb Q$ y $\Bbb R$ y las mismas propiedades en $\Bbb Z$ . Como no importa para las propiedades básicas de $2$ en cuál de estos anillos lo consideramos, sólo podemos pensar en que esos anillos coinciden en estos números.

Answer 3

Los lenguajes de programación suelen ofrecer conversiones implícitas: normalmente se puede utilizar un número entero en cualquier contexto en el que se requiera un número de coma flotante. Esto es muy conveniente.

Incluso en matemáticas, a menudo necesitamos convertir enteros en números reales, y tenemos una función canónica $\mathbf{Z} \to \mathbf{R}$ para hacer la conversión. Esta conversión se realiza a menudo de forma implícita, por lo que rara vez se ve la notación real para ello.

En algunos estilos de razonamiento, especialmente los motivados por el álgebra o la teoría de categorías, creemos que "subconjunto" es una mala noción: debemos pensar en subobjetos en su lugar; en términos generales, eso significa que pensamos en monomorfismos que relacionan objetos. Incluso podríamos cooptar la notación $\subseteq$ para hablar de subobjetos en lugar de subconjuntos.

Lamentablemente, no creo que se haya trabajado en la formalización del uso matemático de las conversiones implícitas. Creo que hay es trabajo que se puede hacer en ese sentido, sólo que no he visto a nadie hacerlo.

Sin embargo, en una notación más tradicional, al estilo de la teoría de conjuntos, tratamos de arreglar que todas las conversiones implícitas sean mapas de identidad. Esta es una simplificación muy poderosa, tanto en el uso como en la organización de las conversiones implícitas. Pero puede oscurecer lo que está pasando -- puede ser muy difícil hacer la transición a contextos donde las conversiones necesitan ser explícitas.

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Por supuesto, nada de esto refleja realmente la historia. Supongo que la respuesta más acertada a "¿por qué las cosas son así?" es simplemente que hace tiempo la gente creía que había un único sistema numérico verdadero, y "ser un número entero" es simplemente una propiedad que tienen algunos números y otros no.

Answer 4

Es práctico considerar los reales y los enteros como puntos de la misma línea geométrica, aunque la construcción axiomática de los reales pueda parecer alejada de los enteros.

En el lenguaje de programación todos los tipos deben ser declarados y tratados de forma diferente. Incluso las diferentes representaciones de los enteros se tratan de forma diferente (como Integer y BigInteger).

Y no hay reales en la programación, sólo float: reales truncados.

Answer 5

Mi respuesta corta:

Los enteros no son estrictamente un subconjunto de los reales. En particular, $0$ en los enteros no es exactamente lo mismo que $0.0$ en los números reales. (Aquí utilizo una notación común del lenguaje de programación.) Se comportan de forma ligeramente diferente. El ejemplo principal es:

$$0^0=1 \text{ and}$$ $$0.0^0=1 \text{, but}$$ $$0.0^{0.0} \text{ is undefined}$$

Mi respuesta larga:

Los números enteros $\{\ldots,-2,-1,0,1,2,\ldots\}$ son isomorfos a un subconjunto de los números reales, a saber $\{\ldots,-2.0,-1.0,0.0,1.0,2.0,\ldots\}$ . Esto significa que los dos conjuntos se comportan de forma idéntica con respecto a la suma y la multiplicación. Así que solemos decir que los dos conjuntos son idénticos, a efectos prácticos.

Sin embargo, la suma y la multiplicación no son todo lo que hay. La exponenciación (potencias) puede definirse de varias maneras, y por diversas razones (entre ellas, históricas y contextuales) suele definirse de forma diferente para los enteros y para los reales.

¿Por qué solemos decir que $0^0=1$ ? Los números enteros no negativos son isomorfos a los números ordinales finitos, y algunos matemáticos como von Neumann dijeron que son idénticos. Así que dados los enteros no negativos $m$ y $n$ podemos utilizar cualquier conjunto $M$ y $N$ con los tamaños adecuados (cardinalidades) y decir que $m^n$ es la cardinalidad del conjunto de todas las funciones de $N$ a $M$ . En la teoría de conjuntos se ha demostrado que esto es posible y está bien definido, y por esta definición $0^0$ es de hecho $1$ . (La única función que va del conjunto vacío al conjunto vacío es la función vacío, es decir, el conjunto vacío).

¿Por qué solemos decir que $0.0^0=1$ ? Para valores reales no nulos $x$ , $x^0=1$ y tiene sentido dejar que $0^0=lim_{x \to 0}x^0=1$ . Es cierto que $0.0^n=0$ para números enteros positivos $n$ , pero de todas formas hay una ruptura con ese patrón para los enteros negativos. Así que a quién le importa si $0.0^n$ difiere de $0.0^0$ ? No hay ninguna buena razón para hacer $0.0^0$ indefinido.

Hay muchas otras razones para que el cero de potencia integral sea uno. Por ejemplo, a menudo lo escribimos como un polinomio para integral o real $x$ : $$\sum_{i=0}^n a_ix^i$$

Pero el término "constante" allí es $a_0x^0$ , que sólo tiene sentido si $x^0=1$ para todo $x$ , integral o real, incluyendo el cero.

Para algunos puntos más, mira mi lenguaje de programación favorito, Object Pascal como se implementa en Borland Delphi / Embarcadero Delphi. La integral de potencia cero se implementa como IntPower $(0.0, 0)$ que se evalúa como $1$ , incluso si Power $(0.0,0.0)$ es indefinido. O mira la popular calculadora TI-84 Plus, que evalúa $0^0$ y $0.0^0$ como $1$ aunque con la advertencia de que puede ser indefinido.

¿Por qué solemos decir que $0.0^{0.0}$ es indefinido? Aquí vemos $x^y$ de verdad $x$ y $y$ como el punto $(x,y)$ se acerca al punto $(0,0)$ a lo largo de varios caminos. Si establecemos $y=kx$ , $x^y$ se acerca a $1$ ya que ambos $x$ y $y$ se acercan a cero desde la derecha. Si fijamos $x=0$ el límite es $0$ . Otros caminos dan otros límites. Por lo tanto, no podemos decir que $x^y$ tiene cualquier límite como $x$ y $y$ se acercan a cero, por lo que declaramos que $0.0^{0.0}$ es indefinido.

Tenga en cuenta que esta razón, así como otras con las que estoy familiarizado, no se aplica a $x^0$ donde el cero es integral. Así que concluyo que el cero integral y el cero real no son exactamente lo mismo.

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Nótese que esto es similar a que los números reales no son exactamente un subconjunto de los números complejos. Por ejemplo, la raíz cúbica de los números reales $-1$ es $-1$ pero la raíz cúbica del valor complejo $-1$ es $\frac 12+\frac{\sqrt 3}2i$ . (¿He abierto otra lata de gusanos?)