Demostrar que el siguiente es un espacio vectorial

Question

Me piden demostrar que $$X=\left\{x=(x_n)_{n\in \mathbb N} :\sum_{n\in \mathbb N} |x_n|^{p(n)}<\infty \right\}$$

con $p(n)>0$ es un espacio lineal iff $\sup_n p(n)<\infty$

La dirección $(\Leftarrow)$, es decir, que $\sup_n p(n)<\infty$ implica $X$ es lineal, no es tan difícil. No sé cómo demostrar a la otra dirección $(\Rightarrow)$.

Answer 1

Voy a usar la $X_p$ para denotar el conjunto anterior. Supongamos $X_p$ $\newcommand{\RR}{\mathbb{R}}\RR$- espacio vectorial, o al menos un $\Bbb{Q}$-espacio vectorial. Supongamos por contradicción que $p$ es ilimitado. Por el ilimitado, el elegir una larga $n_k$ tal que $p(n_k) \ge k$. Ahora considere la posibilidad de $$x(n) = \begin{cases}\frac{1}{2} & \text{if $n=n_k$ for some $k$,}\\ 0 & \text{lo contrario.}\end{casos}$$ Por construcción, $$\sum_{n=0}^\infty |x(n)|^{p(n)} = \sum_{k=0}^\infty \left(\frac{1}{2}\right)^{p(n_k)} \le \sum_{k=0}^\infty \left(\frac{1}{2}\right)^{k}=2,$$ por lo $x\in X_p$. Sin embargo $2x$ no $p$, desde $$\sum_{n=0}^\infty |2x(n)|^{p(n)} = \sum_{k=0}^\infty \left(1\right)^{p(n_k)} = \sum_{k=0}^\infty 1 = \infty.$$ Contradicción. Por lo tanto si $X_p$ $\Bbb{Q}$- espacio vectorial, $p$ está acotada.