Tengo algo que añadir aquí. Si el resultado es correcto cuando $x \lt \sigma^3$ entonces la integral es cero cuando $x \gt \sigma^3$ . La razón es la convergencia en el plano complejo, similar al problema que resolví el otro día. Pero el problema está incompletamente especificado, como demostraré a continuación.
Considere la integral
$$ \oint_C dz \frac{e^{t z}}{z^3 (z+1)^3} $$
donde $t = \log{\left ( \frac{\sigma^3}{x} \right )}$ y $C$ es el contorno estándar de Bromwich que consiste en (1) la línea $z=c+i y$ , $y \in [-R,R]$ y (2) un arco circular de radio $R$ conectada a la línea en sus puntos extremos, cerrada a la izquierda de la línea. Entonces la integral de contorno es igual a
$$\int_{c-i R}^{c+i R} ds \frac{e^{s t}}{s^3 (s+1)^3} + i R \int_{\pi/2-\delta}^{3 \pi/2+\delta} d\theta \, e^{i \theta} \frac{e^{R t \cos{\theta}} e^{i R t \sin{\theta}}}{R^3 e^{i 3 \theta} \left ( R e^{i \theta}+1\right )^3} $$
donde $\delta \to 0$ como $R \to \infty$ . Para que el teorema del residuo se aplique como $R \to \infty$ las integrales deben converger. En este caso, la segunda integral desaparece sólo cuando $t \gt 0$ Para ver esto, observe que la magnitud de la segunda integral está limitada por, como $R \to \infty$
$$\frac1{R^5} \int_{\pi/2}^{3 \pi/2} d\theta \, e^{R t \cos{\theta}} = \frac{2}{R^5} \int_0^{\pi/2} d\theta \, e^{-R t \sin{\theta}} $$
Obsérvese que la convergencia de esta integral sólo se consigue cuando $t \gt 0$ . En este caso, la integral está acotada por (observando que $\sin{\theta} \le (2/\pi) \theta$ )
$$\frac{2}{R^5} \int_0^{\pi/2} d\theta \, e^{-2 R t \theta/\pi} = \frac{\pi}{R^6} \left ( 1 - e^{-\pi R t} \right ) \le \frac{\pi}{R^6} \quad (R \to \infty)$$
¿Qué sucede cuando $t \lt 0$ ? Obviamente, la segunda integral anterior diverge como $R \to \infty$ . En este caso, cerramos a la derecha en lugar de a la izquierda. Cuando lo hacemos, esa integral desaparece de la misma manera que la anterior.
Obsérvese que se trata de una situación muy diferente a la que se da cuando el integrando es $\Gamma(s)^2$ por ejemplo. Allí demostré que la segunda integral desaparece cuando se cierra a la izquierda, independientemente del signo de $t$ . Eso llevó a la integral que representa la inversa de una transformada bilateral de Laplace, o Mellin.
Volver a esta integral. Cuando aplicamos el teorema del residuo, encontramos que tenemos, por definición de la constante $c$ , situada la línea a la derecha de todos los polos (es decir, $c \gt 0$ ). Esto es una consecuencia de definir la integral anterior como inversa de una transformada de Laplace unilateral que exige causalidad, es decir, que la inversa sea cero cuando $t \lt 0$ .
Sin embargo, voy a lanzar otra llave en las obras. ¿Qué pasa si establecemos $c \in (-1,0)$ ? Bueno, la integral ya no representa una transformada inversa de Laplace, pero ¿y qué? Nunca has especificado que lo sea: no lo has dicho, ni has definido $c$ . En ese caso, la integral adquiere un valor muy diferente:
$$\operatorname*{Res}_{z=-1} \frac{e^{t z}}{z^3 (z+1)^3} H(t) + \operatorname*{Res}_{z=0} \frac{e^{t z}}{z^3 (z+1)^3} H(-t)$$
donde $H(t) = 1$ cuando $t \gt 0$ y $0$ cuando $t \lt 0$ . Te dejaré resolver los detalles, pero tienes que especificarlo en el planteamiento del problema.
