Convergencia/divergencia de $\sum_{k=1}^\infty\frac{2\times 4\times 6\times\cdots\times(2k)}{1\times 3\times 5\times\cdots\times(2k-1)}$

Question

Un problema me pide para determinar si la serie

$$\sum_{k=1}^\infty \frac{2 \times 4 \times 6 \times \cdots \times (2k)}{1 \times 3 \times 5 \times \cdots \times (2k-1)}$$

converge o diverge.

(del libro de texto de Cálculo por Laura Taalman y Pedro Kohn (edición 2014); la sección 7.6, p. 639, problema 33)

Estoy autorizado a utilizar el ratio de prueba primero y luego otras convergencia/divergencia de la prueba, si la prueba anterior no funciona. En mi trabajo original, he intentado la prueba de razón y fue prestados no son concluyentes.

$$ a_k = \frac{2 \times 4 \times 6 \times \cdots \times (2k)}{1 \times 3 \times 5 \times \cdots \times (2k-1)} $$

$$ a_{k + 1} = \frac{2 \times 4 \times 6 \times \cdots \times (2k) \times (2(k+1))}{1 \times 3 \times 5 \times \cdots \times (2k-1) \times (2(k+1)-1)} = \frac{2 \times 4 \times 6 \times \cdots \times (2k) \times (2k+2)}{1 \times 3 \times 5 \times \cdots \times (2k-1) \times (2k+1)} $$

$$ \frac{a_{k + 1}}{a_k} = \frac{\frac{2 \times 4 \times 6 \times \cdots \times (2k) \times (2k+2)}{1 \times 3 \times 5 \times \cdots \times (2k-1) \times (2k+1)}}{\frac{2 \times 4 \times 6 \times \cdots \times (2k)}{1 \times 3 \times 5 \times \cdots \times (2k-1)}} = \frac{2 \times 4 \times 6 \times \cdots \times (2k) \times (2k+2)}{1 \times 3 \times 5 \times \cdots \times (2k-1) \times (2k+1)} \times \frac{1 \times 3 \times 5 \times \cdots \times (2k-1)}{2 \times 4 \times 6 \times \cdots \times (2k)} = \frac{2k+2}{2k+1}$$

La evaluación de $\rho = \lim_{x \to \infty} \frac{a_{k + 1}}{a_k}$ va a determinar si $\sum_{k=1}^\infty \frac{2 \times 4 \times 6 \times \cdots \times (2k)}{1 \times 3 \times 5 \times \cdots \times (2k-1)}$ converge o diverge. Las conclusiones de la prueba de razón de son como sigue:

$\circ$ Si $\rho < 1$, $\sum_{k=1}^\infty a_k$ converge.

$\circ$ Si $\rho > 1$, $\sum_{k=1}^\infty a_k$ diverge.

$\circ$ Si $\rho = 1$, entonces la prueba no es concluyente.

$$ \rho = \lim_{x \to \infty} \frac{a_{k + 1}}{a_k} = \lim_{x \to \infty} \frac{2k+2}{2k+1} = 1$$

Desde $\rho = 1$, la proporción de la prueba se representa concluyentes, como he dicho antes. Voy a tener que utilizar otros convergencia/divergencia de las pruebas para resolver el problema.

Mi problema es que no estoy seguro de que otros la convergencia/divergencia de prueba a utilizar. Alguna sugerencia?

Muchas gracias por la ayuda.

Answer 1

La serie es divergente desde $a_k>1$ por cada $k$.

Answer 2

Por aproximación de Stirling, tenemos que $$a_k=\frac{2\times 4\times 6\times\cdots\times(2k)}{1\times 3\times 5\times\cdots\times(2k-1)}=\frac{4^k\cdot (k!)^2}{(2k)!}=\frac{4^k}{\binom{2k}{k}}\sim \sqrt{\pi k}.$$ Por lo tanto la serie $\sum_{k\geq 1} a_k$ diverge.

De manera más general la serie $\sum_{k\geq 1} \frac{a_k}{k^r}$ converge iff $r-1/2>1$$r>3/2$.

Answer 3

$$\sum_{k=1}^\infty \frac{2 \times 4 \times 6 \times \cdots \times (2k)}{1 \times 3 \times 5 \times \cdots \times (2k-1)}=$$

$$\sum_{k=1}^\infty \frac{\prod_{j=1}^k(2j)}{\prod_{j=1}^k(2j-1)}=$$

$$\sum_{k=1}^\infty \prod_{j=1}^k\frac{(2j)}{(2j-1)}$$

El producto $a_k = \prod_{j=1}^k\frac{(2j)}{(2j-1)}$ es $$\left(1+\dfrac11\right)\left(1+\dfrac13\right)\left(1+\dfrac15\right)\cdots \left(1+\dfrac1{2n-1}\right)$$ Un infinito producto $\lim_{k \to \infty} \left(1+a_k\right)$ converge a un número distinto de cero si uno de los $\sum_{k \to \infty} \vert a_k \vert$ converge. La conclusión de lo que quieres de esto.