Yo) Nos da un impulso angular operador $\vec{S}$ en un (unitario, finito-dimensional, irreductible) spin $s$-representación
$$\tag{1} \vec{S}^2~=~s(s+1){\bf 1}, \qquad s\in \frac{1}{2}\mathbb{N}_0, $$
$$\tag{2} [S_i,S_j]~=~i\sum_{k=1}^3\epsilon_{ijk} S_k, \qquad i,j,k\in\{x,y,z\}, \qquad S_i^{\dagger}~=~ S_i,$$
o en términos de subir y bajar las escaleras de los operadores
$$\tag{3} S_{\pm}~:=~S_x\pm i S_y, \qquad S_{\pm}^{\dagger}~=~ S_{\mp}, $$
$$\tag{4} [S_z, S_{\pm}]~=~\pm S_{\pm}, \qquad [S_+,S_-]~=~2S_z. $$
Aquí hemos puesto la reducción de la constante de Planck $\hbar=1$.
II) El Heisenberg de álgebra en términos de aniquilación operador $a_-\equiv a$ y la creación de operador $a_+\equiv a^{\dagger}$ lee
$$\tag{5}[a_-, a_+]~\equiv~[a,a^{\dagger}]~=~{\bf 1}, $$
$$\tag{6} a_{\pm}^{\dagger}~=~ a_{\mp}.$$
El número de operador
$$n~:=~a_+a_-~\equiv~ a^{\dagger}a.$$
Uno tiene
$$\tag{8} [n,a_{\pm}]~=~\pm a_{\pm}, \qquad f(n)a_{\pm}~=~a_{\pm}f(n\pm 1), $$
donde $f$ es una función arbitraria.
III) La Holstein-Primakoff unitario de realización de la tirada $s$-irrep es dado como
$$\tag{9} S_+~=~ a_+h(n)~=~ h(n-1)a_+, $$
$$\tag{10} S_-~=~ h(n)a_-~=~ a_-h(n-1),$$
$$\tag{11} S_z~=~n-s, $$
donde
$$\tag{12} h(n)~:=~\sqrt{2s-n}~=~\sqrt{2s} \sqrt{1-\frac{n}{2s}}.$$
Es sencillo comprobar que el nca. (9-11) el rendimiento de la Mentira de álgebra (4).
IV) La Dyson-Maleev no unitario de la realización de la tirada $s$-irrep es de la forma
$$\tag{13} J_+~=~ S_+g(n)~=~g(n-1)S_+, $$
$$\tag{14} J_-~=~ g(n)^{-1}S_-~=~S_-g(n-1)^{-1}, $$
$$\tag{15} J_z~=~S_z, $$
donde
$$\tag{16} g(n)~:=~ \sqrt{1-\frac{n}{2s}}.$$
Es sencillo comprobar que el nca. (13-15) el rendimiento de la Mentira de álgebra (4) incluso sin el uso de la forma explícita (16).
V) Vamos a definir la nueva creación y la aniquilación de los operadores
$$\tag{17} A_+~:=~ a_+g(n)~=~g(n-1)a_+, $$
$$\tag{18} A_-~=~ g(n)^{-1}a_-~=~a_-g(n-1)^{-1}, $$
con el mismo número de operador
$$\tag{19} N~:=~A_+A_-~=~a_+a_-~=~n,$$
y el mismo Heisenberg álgebra (5).
VI) tomar Nota de que la nueva creación y de aniquilación de los operadores de $A_{\pm}$ son no cada uno de los otros $\dagger$-conjugado a la eq. (6). Pero uno puede introducir otro Hermitian involución $\ddagger$
$$\tag{20} a_-^{\ddagger}~:=~ a_+ g(n)^2~=~g(n-1)^2 a_+ $$
$$\tag{21} a_+^{\ddagger}~:=~ g(n)^{-2}a_-~=~a_- g(n-1)^{-2}, $$
$$\etiqueta{22} n^{\ddagger}~=~ n, \qquad (FG)^{\ddagger}~=~G^{\ddagger}F^{\ddagger},
\qquad F^{\ddagger\ddagger}~=~F, $$
donde $F$ $G$ son dos arbitraria de los operadores en el universal que envuelve el álgebra. Con la nueva Hermitian involución $\ddagger$, la creación y aniquilación de los operadores de $A_{\pm}$ son cada uno de los otros $\ddagger$-conjugado
$$\tag{23} A_{\pm}^{\ddagger}~=~ A_{\mp}.$$
VII) Conclusión. El Dyson-Maleev realización (13-15), construido con la aniquilación y creación de los operadores de $a_{\pm}$ puede ser visto como una Holstein-Primakoff realización construido con la aniquilación y creación de los operadores de $A_{\pm}$. Por otra parte, el Dyson-Maleev realización (13-15) es unitaria wrt. el $\ddagger$-conjugación, pero no wrt. el original de la $\dagger$-conjugación, cf. eq. (23). Creemos que estas observaciones esencialmente respuesta OP original de preguntas(v1).
