Cómo probar esto $[\sqrt{23n}]\{\sqrt{23n}\}>3$

Question

Demostrar que

para cualquier número entero positivo $n\ne 23m^2,m\in N$ , tienen $$[\sqrt{23n}]\{\sqrt{23n}\}>3$$ y $\{x\}=x-[x]$

He publicado esto Cómo probar esto $|\{n\sqrt{3}\}-\{n\sqrt{2}\}|>\frac{1}{20n^3}$

y ¿Este problema tiene métodos agradables?

mi idea: dejar $[\sqrt{23n}]=m\in N^{+},\{\sqrt{23n}\}=r\in[0,1)$ entonces $$\Longleftrightarrow mr>3\Longleftrightarrow m>\dfrac{3}{r}$$

Answer 1

Tenga en cuenta que la ecuación $x^2-230y^2=-5$ tiene solución $x=15$ , $y=1$ .

Utilizando la solución fundamental de la ecuación de Pell $x^2-230y^2=1$ concluimos que la ecuación $x^2-230y^2=-5$ tiene infinitas soluciones enteras.

Si $(x,y)$ es una solución de este tipo, dejemos que $n=10y^2$ . Entonces $23n$ es $5$ más que un cuadrado perfecto.

Obsérvese que la parte fraccionaria $\{\sqrt{23n}\}$ es $\sqrt{23n}-x$ . Así, a partir de la factorización $x^2-23n=(x-\sqrt{23n})(x+\sqrt{23n})$ obtenemos $$\{\sqrt{23n}\}=\frac{5}{x+\sqrt{23n}}.$$

Para los grandes $n$ tenemos $x\approx \sqrt{23n}$ . De ello se desprende que $$\lfloor\sqrt{23n}\rfloor\{\sqrt{23n}\}\approx 2.5.$$ Como $n=10y^2\to\infty$ el error en la aproximación va a $0$ . Así que podemos afirmar, por ejemplo, que hay infinitas $n$ , de tal manera que $23n$ no es un cuadrado perfecto, y $\lfloor\sqrt{23n}\rfloor\{\sqrt{23n}\}\lt 2.6$ .

Answer 2

$\{ \sqrt{23 \cdot n} \} = 0$ infinitamente a menudo por lo que no es cierto.

También falla para $n=3$ y muchos otros:

3
10
23
42
63
92
127
162
207
258
307
368
435
498
575
658
735
828
927
1018
1127
1242
1347
1472
1603
1722
1863
2010
2143
2300
2463
2610
2783
2962
3123
3312
3507
3682
3887
4098
4287
4508
4735
4938
5175
5418
5635
5888
6147
6378
6647
6922
7167
7452
7743
8002
8303
8610
8883
9200
9523
9810