¿Existen infinitos números que sean a la vez cuadrados y triangulares?

Question

Acabo de empezar a leer "Introducción Amistosa a la Teoría de Números" pero me estoy atascando en los primeros ejercicios.

1.1. Los dos primeros números que son a la vez cuadrados y triángulos son 1 y 36. Encuentra el siguiente y, si es posible, el que le sigue. ¿Puede encontrar una forma eficiente de encontrar los números triangulares-cuadrados? En ¿Crees que hay infinitos?

https://www.math.brown.edu/~jhs/frintch1ch6.pdf

He encontrado cómo averiguar el número que es a la vez cuadrado y triángulo. (no sé si es una forma efectiva)

https://github.com/y-zono/friendly-introduction-number-theory/blob/master/01/1-1/main.go

Sin embargo, ¿cómo puedo responder a la pregunta "¿Crees que hay infinitos?"? Creo que tengo que encontrar la fórmula, pero todavía no tengo ni idea. ¿Puede ayudarme, por favor?

Answer 1

Por supuesto, la solución de la ecuación:

$$Y^2=\frac{X(X\pm1)}{2}$$

Soluciones definidas de la ecuación de Pell: $$p^2-2s^2=\pm1$$

Pero es necesario escribir la fórmula que describe sus soluciones mediante la resolución de la ecuación de Pell:

$$X=p^2+4ps+4s^2$$

$$Y=p^2+3ps+2s^2$$

Y más.

$$X=2s^2$$

$$Y=ps$$

$p,s$ - Estos números pueden ser de cualquier carácter. Si necesita tener una solución de la ecuación: $$Y^2=\frac{X(X\pm{a})}{2}$$

Es necesario sustituir en las fórmulas uravneniyaPellya soluciones: $$p^2-2s^2=\pm{a}$$

Answer 2

Echa un vistazo a https://en.wikipedia.org/wiki/Square_triangular_number Así que la respuesta es sí.

Answer 3

Hay un problema estrechamente relacionado. ¿Existe un número infinito de triples (x,y,z) tales que x,y,y z son enteros consecutivos siendo cada uno expresable como la suma de dos cuadrados enteros no necesariamente distintos? Por ejemplo $$0=0^2+0^2;1=0^2+1^2;2=1^2+1^2$$ $$8=2^2+2^2; 9=0^2+3^2; 10=3^2+1^2$$ .

En este último caso, el triple tiene la forma $2m^2+2=n^2+1$ o $$n^2-2m^2=1$$ La ecuación de Pell de nuevo.

Por lo tanto, si se puede construir o demostrar la existencia de un número infinito de tales triples, se ha encontrado un número infinito de números triangulares cuadrados.

Answer 4

La fórmula de los números triangulares está en la página 9. Crea una ecuación en la que la izquierda sea esa fórmula utilizando x, y la derecha la fórmula de los cuadrados, utilizando y. X e y no son iguales, pero puedes reordenar los términos. Pregunta, ¿cuándo la izquierda es divisible por algo de la derecha? ¿Estamos seguros de que esa divisibilidad existe para los números superiores?

Mejor, supongamos que tenemos una x y una y. ¿Podemos añadir siempre algo a cada una para obtener el siguiente número?

Answer 5

Supongamos que $$\frac{n(n+1)}{2}=m^2\iff n(n+1)=2m^2$$ Desde $\gcd(n,n+1)=1$ tenemos que tener en cuenta $m^2$ como $m^2=a^2b^2$ con $\gcd(a,b)=1$ . Supongamos sin pérdida de generalidad que $a^2\leq b^2$ entonces hay 3 casos a considerar dado que ahora $$n(n+1)=2a^2b^2$$

1. $n=a^2, n+1=2b^2$ . Entonces $$1=2b^2-a^2\geq b^2$$ así que $a=b=\pm 1$ .

2. $n=2a^2, n+1=b^2$ . Entonces $$1=b^2-2a^2$$ Una solución a esto es $(a,b)=(2,3)$ y siempre podemos generar una nueva solución mediante $$(a',b')=(2ab, b^2+2a^2)$$ La motivación para ello es considerar la ecuación $1=b^2-2a^2$ sobre el anillo $\Bbb Z[\sqrt 2]$ con la norma $N(a+b\sqrt 2)=a^2-2b^2$ . Entonces $N(\alpha\beta)=N(\alpha)N(\beta)$ En particular, si $N(\alpha)=1$ entonces $N(\alpha^n)=1$ .

3. $n=b^2, n+1=2a^2$ . Entonces $$1=2a^2-b^2$$ multiplicar por $2$ para convertir la ecuación en $$2=(2a)^2-2b^2=(2a+\sqrt 2 b)(2a-\sqrt 2 b)\in\Bbb Z[\sqrt 2]$$ una solución a esta ecuación es $(a,b)=(1,1)$ . Para generar más soluciones podemos multiplicar por cualquier unidad $u$ por ejemplo $u=3+2\sqrt 2$ . $(2a+\sqrt 2 b)(3+2\sqrt 2)=6a+4b+(4a+3b)\sqrt 2$ . $2=(10+7\sqrt 2)(10-7\sqrt 2)$ Así que $$1=2\cdot 5^2-7^2$$ Por lo tanto, $$(a',b')=(3a+2b, 4a+3b)$$ por lo que también hay infinitas soluciones en este caso.