Característica

Question

Demuestre que para un campo$L$ de la característica 2 existen ecuaciones cuadráticas que no se pueden resolver al unir raíces cuadradas de elementos en el campo$L$.

Intento:

En$\mathbb{Z_2}$ junto a todas las raíces cuadradas obtenemos nuevamente$\mathbb{Z_2}$, pero$t^2+t+1$ no tiene raíces en este campo. No sé cómo hacer el caso general.

Answer 1

Si $L$ es un campo finito de característica dos, y luego considerar la asignación de $$ p:L\rightarrow L, x\mapsto x+x^2. $$ Debido a $F:x\mapsto x^2$ respeta las sumas: $$F(x+y)=(x+y)^2=x^2+2xy+y^2=x^2+y^2=F(x)+F(y),$$ the mapping $p$ is a homomorphism of additive groups. We see that $x\in \mathrm{Ker}\ p$, if and only if $x=0$ or $x=1$. So $|\mathrm{Ker}\ p|=2$. Therefore (one of the basic isomorphism theorems) $|\mathrm{Im}\ p|=|L|/2$. In particular, the mapping $p$ no es sobre.

Deje $a\in L$ ser tal que no está en la imagen de $p$. Entonces la ecuación cuadrática $$ x^2+x+a=0 $$ no tiene ceros en $L$.

Debido a que la asignación de $F$ a (su núcleo es trivial), todos los elementos de a $L$ tienen una raíz cuadrada en $L$. Por lo tanto adjoinin las raíces cuadradas de los elementos de $L$ no nos permite encontrar las raíces de la ecuación anterior.

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En general, el reclamo no puede sostener. Por elemental de Artin-Schreier teoría podemos demostrar que los polinomios cuadráticos de la prescrita tipo existen exactamente, cuando la anterior asignación de $p$ no es en (independientemente de si $L$ es finito o no). Esto es debido a que, a menos que el cuadrática $r(x)$ es de la forma $x^2+a$ (cuando se unen a las raíces cuadradas, si es necesario, le ayudará a), su división de campo es separable, por lo tanto cíclico de Galois de grado dos. Así, el citado teorema de Artin-Schreier teoría dice que la división de campo de la $r(x)$ puede ser conseguido por unirse a una raíz de un polinomio de la forma $x^2+x+a=0$.