No tenemos más necesidad de utilizar la Proporción Raíz/de prueba para determinar la divergencia de una serie?

Question

De las pruebas de la Raíz y de la razón de las pruebas para una serie, uno deduce que si una de estas pruebas se muestra la divergencia, a continuación, los términos de la serie en cuestión no tienden a cero.

Por tanto, estoy interesado en encontrar un ejemplo de una divergente la serie (accesible a Calc II los estudiantes) para que la Relación o de la Raíz de la prueba es mucho más fácil de aplicar que el $n^{\rm th}$-plazo de prueba (la Divergencia de la Prueba). ¿Alguien sabe de uno?

Gracias por cualquier ayuda, y me disculpo de antemano por la vaga requisito de `mucho más fácil".

Answer 1

Una serie como esta tal vez:

$$\sum_{n=1}^\infty \frac {3^n n!}{n^n}$$

Aunque el límite de esta secuencia es, de hecho, no de cero, no creo que la mayoría Calc I o II, los estudiantes serían capaces de demostrar fácilmente sin tener que recurrir a un muy adaptado enfoque para este problema. Por otro lado, la prueba de razón se encarga de esto fácilmente.

Es decir, siempre que ellos no son conscientes de que $$\lim_{n\to\infty} \frac {(n!)^{\frac 1 n}} n=\frac 1 e$$ (Yo no estaba cuando me tomó Calc I y II).