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Un polinomio cuyo grupo de Galois es$D_8$

Necesito construir un polinomio de este tipo, y más en general: dado un grupo$G$, ¿cómo puede realizarse como un grupo de Galois?

11voto

Shafee Puntos 31

No estoy seguro de cómo hacer una extensión para una arbitraria grupo $G$, pero para grupos finitos no es un buen método.

Así que, asumiendo $|G|<\infty$

Incrustar $G$ a $S_{n}$ $n=|G|$ y considerar el anillo de $F=\mathbb{Q}[x_{1}, \dots, x_{n}]$. Deje $E$ a ser el campo de fracciones de $F$.

Si $\sigma\in G$, hay un $\mathbb{Q}$-automorphism (un automorphism la fijación de $\mathbb{Q}$) $\varphi_{\sigma}:E\rightarrow E$ dado por $x_{i}\mapsto x_{\sigma(i)}$, donde si $f_{1},f_{2}\in E$, $\varphi_{\sigma}(\frac{f_{1}}{f_{2}}) = \frac{\varphi_{\sigma}(f_{1})}{\varphi_{\sigma}(f_{2})}$. Si $\sigma,\pi\in G$, está claro que $\varphi_{\sigma}\circ\varphi_{\pi} = \varphi_{\sigma\circ\pi}$, por lo que estos automorfismos formar un grupo isomorfo a $G$. Pero, a continuación, $E/E^{G}$ donde $E^{G}$ es el campo fijo de estos automorfismos (de $G$), es una extensión de Galois con grupo de Galois $G$.

Hay algunos detalles más que me dejó fuera, pero esto debe darle una idea general de cómo se puede construir una extensión para cualquier grupo finito.

6voto

Lior B-S Puntos 1216

Si está interesado en la realización sobre$\mathbb{Q}$, entonces el libro Inverse Galois Theory of Malle and Matzat nos dice que$f=x^8-3x^5-x^4+3x^3+1$ tiene el grupo Galois$D_8$ over$\mathbb{Q}$. Al final de este libro hay una tabla de polinomios para todos los grupos transitivos hasta el grado$12$ sobre$\mathbb{Q}$. El cuerpo del libro explica en detalle el método para lograr realizaciones y cubre otros temas en el área.

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