Necesito construir un polinomio de este tipo, y más en general: dado un grupo$G$, ¿cómo puede realizarse como un grupo de Galois?
Respuestas
¿Demasiados anuncios?No estoy seguro de cómo hacer una extensión para una arbitraria grupo $G$, pero para grupos finitos no es un buen método.
Así que, asumiendo $|G|<\infty$
Incrustar $G$ a $S_{n}$ $n=|G|$ y considerar el anillo de $F=\mathbb{Q}[x_{1}, \dots, x_{n}]$. Deje $E$ a ser el campo de fracciones de $F$.
Si $\sigma\in G$, hay un $\mathbb{Q}$-automorphism (un automorphism la fijación de $\mathbb{Q}$) $\varphi_{\sigma}:E\rightarrow E$ dado por $x_{i}\mapsto x_{\sigma(i)}$, donde si $f_{1},f_{2}\in E$, $\varphi_{\sigma}(\frac{f_{1}}{f_{2}}) = \frac{\varphi_{\sigma}(f_{1})}{\varphi_{\sigma}(f_{2})}$. Si $\sigma,\pi\in G$, está claro que $\varphi_{\sigma}\circ\varphi_{\pi} = \varphi_{\sigma\circ\pi}$, por lo que estos automorfismos formar un grupo isomorfo a $G$. Pero, a continuación, $E/E^{G}$ donde $E^{G}$ es el campo fijo de estos automorfismos (de $G$), es una extensión de Galois con grupo de Galois $G$.
Hay algunos detalles más que me dejó fuera, pero esto debe darle una idea general de cómo se puede construir una extensión para cualquier grupo finito.
Si está interesado en la realización sobre$\mathbb{Q}$, entonces el libro Inverse Galois Theory of Malle and Matzat nos dice que$f=x^8-3x^5-x^4+3x^3+1$ tiene el grupo Galois$D_8$ over$\mathbb{Q}$. Al final de este libro hay una tabla de polinomios para todos los grupos transitivos hasta el grado$12$ sobre$\mathbb{Q}$. El cuerpo del libro explica en detalle el método para lograr realizaciones y cubre otros temas en el área.