Condición para los valores propios degenerados de una matriz

Question

Dada una matriz diagonalizable $M$ (es decir, un matriz normal ), ¿podemos determinar si la matriz tiene valores propios degenerados sin calcular explícitamente todos los valores propios y los vectores propios?

1) Un ejemplo que me vino a la mente es que $M$ es el cuadrado de un Matriz hermitiana sesgada ya que una matriz simétrica sesgada siempre tiene pares de valores propios imaginarios puros $ \pm i \lambda_i $ . De manera similar, una matriz que es cuadrada de una matriz que tiene pares de valores propios con diferentes signos como $ \lambda_1 ,- \lambda_1 , \dots $ es un caso así. Sin embargo, estas cosas requieren una especie de descomposición de la matriz $M$ que es otro problema!

2) Otra forma es calcular el polinomio característico $det(M- \lambda I)=0$ y factorizarlo, y luego comprobar los grados de cada término. Pero esto equivale a calcular ya todos los valores propios.

¿Tenemos otros (simples) criterios o formas de determinar la degeneración de los valores propios de una matriz $M$ ?

Answer 1

Se me ocurren tres criterios, aunque la cuestión de si son o no "simples" puede ser objeto de debate.

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El primer criterio es el siguiente: una normalidad $n\times n$ matriz $A$ tiene valores propios degenerados si y sólo si las matrices $$ I, A, A^2, \ldots , A^{n-1} $$ son linealmente dependientes. La razón es que los valores propios múltiples conducen a un polinomio mínimo con grado estrictamente menor que $n$ .

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Otro criterio un poco más algebraico es: una normal $n\times n$ matriz $A$ tiene valores propios degenerados si y sólo hay dos matrices $B$ y $C$ , ambos conmutan con $A$ pero de manera que $B$ no conmuta con $C$ .

La razón es que, viendo las cosas desde el punto de vista de una base formada por los vectores propios de $A$ ordenados de tal manera que los dos primeros dos vectores de la base correspondan al mismo valor propio, se tiene que $$ A=\pmatrix { \lambda & 0 & 0 & \ldots & 0 \cr 0 & \lambda & 0 & \ldots & 0 \cr 0 & 0 & \lambda _3 & \ldots & 0 \cr \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & 0 \cr 0 & 0 & 0 & \ldots & \lambda _n \cr}, $$ y cualquier matriz de la forma $$ \pmatrix { a & b & 0 & \ldots & 0 \cr c & d & 0 & \ldots & 0 \cr 0 & 0 & 0 & \ldots & 0 \cr \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & 0 \cr 0 & 0 & 0 & \ldots & 0 \cr} $$ se desplaza con $A$ . Así que se pueden elegir fácilmente dos matrices no conmutativas $B$ y $C$ de esa forma.

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Una ligera reformulación del segundo criterio anterior es la siguiente: una normal $n\times n$ matriz $A$ tiene valores propios degenerados si y sólo el número de soluciones independientes de la ecuación lineal $$ AX-XA=0, $$ donde la incógnita $X$ es un $n\times n$ es estrictamente mayor que $n$ .

Answer 2

Eneron, hablas de valores propios repetidos. Eso no tiene nada que ver con las matrices normales. Además una matriz normal es una matriz que es diagonalizable en una base ORTONORMAL, ese es un detalle muy importante, porque una matriz compleja genérica es "siempre" diagonalizable pero ¡nunca es normal!

Por supuesto, ooBlue dio una buena respuesta. El cálculo de $P=\chi_A$ el polinomio característico de $A$ , tiene complejidad en $O(n^3)$ . Después, se calcula $Q=gcd(P,P')$ . Si $degree(Q)\geq 1$ entonces tenemos al menos un valor propio repetido ; nótese que, a lo largo del cálculo, permanecemos en el campo base de las entradas de $A$ . De hecho, existe eventualmente un problema ; el cálculo de un polinomio $gcd(P,P')$ es muy inestable y, eventualmente, podemos enfrentarnos a cálculos que impliquen muchos dígitos.

EDIT: Hola chicos, veo que habéis leído mi post ; es curioso. En aras de la brevedad, enzotib y Nicholas están sobre el campo real y yo sobre el campo complejo.

Ahora hacemos matemáticas (en serio). El PO habla de una matriz normal con una referencia a la wikipedia ; si lees esta referencia (hazlo), entonces verás que $A$ es una matriz COMPLEJA. Además el OP habla de una matriz skew- hermitiana con una referencia a wikipedia ; si lees esta referencia (hazlo), entonces verás que hablamos de matrices COMPLEJAS. La noción de matriz genérica está ligada a la noción de conjunto denso de Zariski. No quiero hablar de la topología de Zariski. Lo importante es que si $A=[a_{i,j}]$ es una matriz genérica, entonces no hay polinomios con coeficientes en $\mathbb{Q}$ vinculando el $(a_{i,j})$ . En particular, el discriminante del polinomio característico de $A$ es un polinomio con coeficientes racionales que une el $(a_{i,j})$ por lo que este discriminante no es $0$ y $\chi_A$ tiene distintas raíces COMPLEJAS. Entonces $A$ es diagonalizable sobre $\mathbb{C}$ y hemos terminado. Lo siento, chicos. Obsérvese que si no queremos conocer los valores propios repetidos de $A$ entonces podemos sustituir el cálculo de $gcd(P,P')$ con el cálculo de $discrim(P)$ .

Ahora dejemos que $A$ ser un $(n\times n)$ matriz real ; $\mathbb{R}$ no es algebraicamente cerrado y, en consecuencia, si se elige al azar $A$ entonces la probabilidad de que $A$ es diagonalizable sobre $\mathbb{R}$ tiende a $0$ cuando $n$ tiende a $\infty$ . Por lo tanto, decir que una matriz real no es en general diagonalizable sobre $\mathbb{R}$ ¡no es una primicia! Sin embargo, si una matriz real $A$ es genérico, entonces es diagonalizable sobre $\mathbb{C}$ . En tal caso, decimos que $A$ es semi-simple. Quiero insistir en esta importante observación: decir que una matriz real $A$ no es diagonalizable (sobre $\mathbb{R}$ ) no tiene ningún interés; por el contrario, decir que $A$ es semi-simple puede ser interesante; por ejemplo, la dimensión de los conmutadores sobre $\mathbb{R}$ y más $\mathbb{C}$ de $A$ tienen la misma dimensión y basta con diagonalizar $A$ en $\mathbb{C}$ . Para completar esta edición, observe que una matriz real genérica puede ser diagonalizada en bloques de dimensión $1$ (para los valores propios reales) y en bloques de dimensión $2$ (para los valores propios conjugados).